Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60824 / 32536
↖ ↑ ↗
← N 66.765919°
W 12.941894°		 ← 120.49 m → N 66.765919°
W 12.939148°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
N 66.764836°
W 12.941894°		 ← 120.49 m →
14 516 m²		 N 66.764836°
W 12.939148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464054107666016 y=0.248233795166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464054107666016 × 217)
    floor (0.464054107666016 × 131072)
    floor (60824.5)     		tx = 60824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248233795166016 × 217)
    floor (0.248233795166016 × 131072)
    floor (32536.5)     		ty = 32536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60824 / 32536 ti = "17/60824/32536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60824/32536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60824 ÷ 217
    60824 ÷ 131072     		x = 0.46405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32536 ÷ 217
    32536 ÷ 131072     		y = 0.24822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.0718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22587867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24822998046875 × 2 - 1) × π
    0.5035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22587867} λ = -0.22587867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58191768746185))-π/2
    2×atan(4.86427503194487)-π/2
    2×1.36804072360611-π/2
    2.73608144721221-1.57079632675     		φ = 1.16528512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22587867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.941894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16528512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.765919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60824 KachelY 32536 -0.22587867 1.16528512 -12.941894 66.765919
    Oben rechts KachelX + 1 60825 KachelY 32536 -0.22583073 1.16528512 -12.939148 66.765919
    Unten links KachelX 60824 KachelY + 1 32537 -0.22587867 1.16526621 -12.941894 66.764836
    Unten rechts KachelX + 1 60825 KachelY + 1 32537 -0.22583073 1.16526621 -12.939148 66.764836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16528512-1.16526621) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16528512-1.16526621) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22587867--0.22583073) × cos(1.16528512) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394488560256022 × 6371000     		do = 120.486960437721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22587867--0.22583073) × cos(1.16526621) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394505936600601 × 6371000     		du = 120.492267620622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16528512)-sin(1.16526621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394488560256022-0.394505936600601)×R²
    abs(-0.22583073--0.22587867)×1.73763445783792e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73763445783792e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73763445783792e-05×40589641000000     		ar = 14516.0597493059m²