Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60823 / 83491
↖ ↑ ↗
← S 44.156593°
W 12.944641°		 ← 219.12 m → S 44.156593°
W 12.941894°		 →
↑
219.10 m
↓
↑
219.10 m
↓
S 44.158563°
W 12.944641°		 ← 219.12 m →
48 009 m²		 S 44.158563°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464046478271484 y=0.636989593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464046478271484 × 217)
    floor (0.464046478271484 × 131072)
    floor (60823.5)     		tx = 60823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636989593505859 × 217)
    floor (0.636989593505859 × 131072)
    floor (83491.5)     		ty = 83491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60823 / 83491 ti = "17/60823/83491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60823/83491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60823 ÷ 217
    60823 ÷ 131072     		x = 0.464042663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83491 ÷ 217
    83491 ÷ 131072     		y = 0.636985778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464042663574219 × 2 - 1) × π
    -0.0719146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22592661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636985778808594 × 2 - 1) × π
    -0.273971557617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.860707032678108
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22592661} λ = -0.22592661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.860707032678108))-π/2
    2×atan(0.42286299864084)-π/2
    2×0.400059196532855-π/2
    0.80011839306571-1.57079632675     		φ = -0.77067793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22592661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.944641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77067793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.156593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60823 KachelY 83491 -0.22592661 -0.77067793 -12.944641 -44.156593
    Oben rechts KachelX + 1 60824 KachelY 83491 -0.22587867 -0.77067793 -12.941894 -44.156593
    Unten links KachelX 60823 KachelY + 1 83492 -0.22592661 -0.77071232 -12.944641 -44.158563
    Unten rechts KachelX + 1 60824 KachelY + 1 83492 -0.22587867 -0.77071232 -12.941894 -44.158563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77067793--0.77071232) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dl = 219.098690000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77067793--0.77071232) × R
    3.43900000000508e-05 × 6371000     		dr = 219.098690000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22592661--0.22587867) × cos(-0.77067793) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717438573712822 × 6371000     		do = 219.124207280766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22592661--0.22587867) × cos(-0.77071232) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717414616465847 × 6371000     		du = 219.116890120881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77067793)-sin(-0.77071232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717438573712822-0.717414616465847)×R²
    abs(-0.22587867--0.22592661)×2.39572469749039e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39572469749039e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39572469749039e-05×40589641000000     		ar = 48009.0251773567m²