Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60823 / 32121
↖ ↑ ↗
← N 67.211481°
W 12.944641°		 ← 118.30 m → N 67.211481°
W 12.941894°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
N 67.210417°
W 12.944641°		 ← 118.31 m →
13 996 m²		 N 67.210417°
W 12.941894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464046478271484 y=0.245067596435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464046478271484 × 217)
    floor (0.464046478271484 × 131072)
    floor (60823.5)     		tx = 60823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245067596435547 × 217)
    floor (0.245067596435547 × 131072)
    floor (32121.5)     		ty = 32121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60823 / 32121 ti = "17/60823/32121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60823/32121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60823 ÷ 217
    60823 ÷ 131072     		x = 0.464042663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32121 ÷ 217
    32121 ÷ 131072     		y = 0.245063781738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464042663574219 × 2 - 1) × π
    -0.0719146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22592661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245063781738281 × 2 - 1) × π
    0.509872436523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.60181150080418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22592661} λ = -0.22592661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60181150080418))-π/2
    2×atan(4.9620129782995)-π/2
    2×1.37192897698899-π/2
    2.74385795397797-1.57079632675     		φ = 1.17306163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22592661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.944641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17306163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.211481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60823 KachelY 32121 -0.22592661 1.17306163 -12.944641 67.211481
    Oben rechts KachelX + 1 60824 KachelY 32121 -0.22587867 1.17306163 -12.941894 67.211481
    Unten links KachelX 60823 KachelY + 1 32122 -0.22592661 1.17304306 -12.944641 67.210417
    Unten rechts KachelX + 1 60824 KachelY + 1 32122 -0.22587867 1.17304306 -12.941894 67.210417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17306163-1.17304306) × R
    1.85700000001621e-05 × 6371000     		dl = 118.309470001033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17306163-1.17304306) × R
    1.85700000001621e-05 × 6371000     		dr = 118.309470001033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22592661--0.22587867) × cos(1.17306163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387330862502453 × 6371000     		do = 118.300815304641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22592661--0.22587867) × cos(1.17304306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387347982875964 × 6371000     		du = 118.306044307389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17306163)-sin(1.17304306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387330862502453-0.387347982875964)×R²
    abs(-0.22587867--0.22592661)×1.71203735105929e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71203735105929e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71203735105929e-05×40589641000000     		ar = 13996.4160800395m²