Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60820 / 40259
↖ ↑ ↗
← N 56.844466°
W 12.952881°		 ← 167.04 m → N 56.844466°
W 12.950134°		 →
↑
167.05 m
↓
↑
167.05 m
↓
N 56.842964°
W 12.952881°		 ← 167.05 m →
27 904 m²		 N 56.842964°
W 12.950134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464023590087891 y=0.307155609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464023590087891 × 217)
    floor (0.464023590087891 × 131072)
    floor (60820.5)     		tx = 60820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307155609130859 × 217)
    floor (0.307155609130859 × 131072)
    floor (40259.5)     		ty = 40259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60820 / 40259 ti = "17/60820/40259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60820/40259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60820 ÷ 217
    60820 ÷ 131072     		x = 0.464019775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40259 ÷ 217
    40259 ÷ 131072     		y = 0.307151794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.07196044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22607042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307151794433594 × 2 - 1) × π
    0.385696411132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.21170101169616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22607042} λ = -0.22607042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21170101169616))-π/2
    2×atan(3.35919382347256)-π/2
    2×1.28145970845182-π/2
    2.56291941690364-1.57079632675     		φ = 0.99212309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22607042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.952881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99212309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.844466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60820 KachelY 40259 -0.22607042 0.99212309 -12.952881 56.844466
    Oben rechts KachelX + 1 60821 KachelY 40259 -0.22602248 0.99212309 -12.950134 56.844466
    Unten links KachelX 60820 KachelY + 1 40260 -0.22607042 0.99209687 -12.952881 56.842964
    Unten rechts KachelX + 1 60821 KachelY + 1 40260 -0.22602248 0.99209687 -12.950134 56.842964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99212309-0.99209687) × R
    2.62199999999657e-05 × 6371000     		dl = 167.047619999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99212309-0.99209687) × R
    2.62199999999657e-05 × 6371000     		dr = 167.047619999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22607042--0.22602248) × cos(0.99212309) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546913666907754 × 6371000     		do = 167.041511431401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22607042--0.22602248) × cos(0.99209687) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546935617815634 × 6371000     		du = 167.048215803684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99212309)-sin(0.99209687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546913666907754-0.546935617815634)×R²
    abs(-0.22602248--0.22607042)×2.19509078801527e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19509078801527e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19509078801527e-05×40589641000000     		ar = 27904.4469020667m²