Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60819 / 34062
↖ ↑ ↗
← N 65.055919°
W 12.955628°		 ← 128.81 m → N 65.055919°
W 12.952881°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
N 65.054760°
W 12.955628°		 ← 128.81 m →
16 594 m²		 N 65.054760°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464015960693359 y=0.259876251220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464015960693359 × 217)
    floor (0.464015960693359 × 131072)
    floor (60819.5)     		tx = 60819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259876251220703 × 217)
    floor (0.259876251220703 × 131072)
    floor (34062.5)     		ty = 34062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60819 / 34062 ti = "17/60819/34062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60819/34062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60819 ÷ 217
    60819 ÷ 131072     		x = 0.464012145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34062 ÷ 217
    34062 ÷ 131072     		y = 0.259872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464012145996094 × 2 - 1) × π
    -0.0719757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22611836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259872436523438 × 2 - 1) × π
    0.480255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50876597864165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22611836} λ = -0.22611836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50876597864165))-π/2
    2×atan(4.52114815708578)-π/2
    2×1.3531181508904-π/2
    2.70623630178079-1.57079632675     		φ = 1.13543998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22611836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.955628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13543998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.055919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60819 KachelY 34062 -0.22611836 1.13543998 -12.955628 65.055919
    Oben rechts KachelX + 1 60820 KachelY 34062 -0.22607042 1.13543998 -12.952881 65.055919
    Unten links KachelX 60819 KachelY + 1 34063 -0.22611836 1.13541976 -12.955628 65.054760
    Unten rechts KachelX + 1 60820 KachelY + 1 34063 -0.22607042 1.13541976 -12.952881 65.054760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13543998-1.13541976) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dl = 128.82161999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13543998-1.13541976) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dr = 128.82161999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22611836--0.22607042) × cos(1.13543998) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421733534836784 × 6371000     		do = 128.808276960331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22611836--0.22607042) × cos(1.13541976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421751868625259 × 6371000     		du = 128.813876571243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13543998)-sin(1.13541976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421733534836784-0.421751868625259)×R²
    abs(-0.22607042--0.22611836)×1.83337884753221e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83337884753221e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83337884753221e-05×40589641000000     		ar = 16593.6515835176m²