Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60819 / 33339
↖ ↑ ↗
← N 65.880337°
W 12.955628°		 ← 124.81 m → N 65.880337°
W 12.952881°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 65.879215°
W 12.955628°		 ← 124.82 m →
15 578 m²		 N 65.879215°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464015960693359 y=0.254360198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464015960693359 × 217)
    floor (0.464015960693359 × 131072)
    floor (60819.5)     		tx = 60819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254360198974609 × 217)
    floor (0.254360198974609 × 131072)
    floor (33339.5)     		ty = 33339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60819 / 33339 ti = "17/60819/33339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60819/33339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60819 ÷ 217
    60819 ÷ 131072     		x = 0.464012145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33339 ÷ 217
    33339 ÷ 131072     		y = 0.254356384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464012145996094 × 2 - 1) × π
    -0.0719757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22611836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254356384277344 × 2 - 1) × π
    0.491287231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.54342435706695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22611836} λ = -0.22611836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54342435706695))-π/2
    2×atan(4.68059087390028)-π/2
    2×1.36031256120263-π/2
    2.72062512240526-1.57079632675     		φ = 1.14982880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22611836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.955628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14982880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.880337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60819 KachelY 33339 -0.22611836 1.14982880 -12.955628 65.880337
    Oben rechts KachelX + 1 60820 KachelY 33339 -0.22607042 1.14982880 -12.952881 65.880337
    Unten links KachelX 60819 KachelY + 1 33340 -0.22611836 1.14980921 -12.955628 65.879215
    Unten rechts KachelX + 1 60820 KachelY + 1 33340 -0.22607042 1.14980921 -12.952881 65.879215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14982880-1.14980921) × R
    1.95900000001803e-05 × 6371000     		dl = 124.807890001149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14982880-1.14980921) × R
    1.95900000001803e-05 × 6371000     		dr = 124.807890001149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22611836--0.22607042) × cos(1.14982880) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408643700083697 × 6371000     		do = 124.810304494392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22611836--0.22607042) × cos(1.14980921) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408661579680623 × 6371000     		du = 124.815765383514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14982880)-sin(1.14980921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408643700083697-0.408661579680623)×R²
    abs(-0.22607042--0.22611836)×1.7879596926007e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7879596926007e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7879596926007e-05×40589641000000     		ar = 15577.6515358753m²