Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60819 / 32404
↖ ↑ ↗
← N 66.908526°
W 12.955628°		 ← 119.79 m → N 66.908526°
W 12.952881°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
N 66.907448°
W 12.955628°		 ← 119.79 m →
14 348 m²		 N 66.907448°
W 12.952881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464015960693359 y=0.247226715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464015960693359 × 217)
    floor (0.464015960693359 × 131072)
    floor (60819.5)     		tx = 60819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247226715087891 × 217)
    floor (0.247226715087891 × 131072)
    floor (32404.5)     		ty = 32404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60819 / 32404 ti = "17/60819/32404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60819/32404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60819 ÷ 217
    60819 ÷ 131072     		x = 0.464012145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32404 ÷ 217
    32404 ÷ 131072     		y = 0.247222900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464012145996094 × 2 - 1) × π
    -0.0719757080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22611836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247222900390625 × 2 - 1) × π
    0.50555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.5882453582117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22611836} λ = -0.22611836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5882453582117))-π/2
    2×atan(4.89515214987663)-π/2
    2×1.36928519767169-π/2
    2.73857039534337-1.57079632675     		φ = 1.16777407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22611836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.955628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16777407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.908526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60819 KachelY 32404 -0.22611836 1.16777407 -12.955628 66.908526
    Oben rechts KachelX + 1 60820 KachelY 32404 -0.22607042 1.16777407 -12.952881 66.908526
    Unten links KachelX 60819 KachelY + 1 32405 -0.22611836 1.16775527 -12.955628 66.907448
    Unten rechts KachelX + 1 60820 KachelY + 1 32405 -0.22607042 1.16775527 -12.952881 66.907448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16777407-1.16775527) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dl = 119.774800000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16777407-1.16775527) × R
    1.88000000000965e-05 × 6371000     		dr = 119.774800000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22611836--0.22607042) × cos(1.16777407) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.392200242439331 × 6371000     		do = 119.788049275203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22611836--0.22607042) × cos(1.16775527) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.392217536111521 × 6371000     		du = 119.793331207829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16777407)-sin(1.16775527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392200242439331-0.392217536111521)×R²
    abs(-0.22607042--0.22611836)×1.72936721902772e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.72936721902772e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.72936721902772e-05×40589641000000     		ar = 14347.9059658707m²