Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60818 / 40258
↖ ↑ ↗
← N 56.845968°
W 12.958374°		 ← 167 m → N 56.845968°
W 12.955628°		 →
↑
167.05 m
↓
↑
167.05 m
↓
N 56.844466°
W 12.958374°		 ← 167.01 m →
27 898 m²		 N 56.844466°
W 12.955628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464008331298828 y=0.307147979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464008331298828 × 217)
    floor (0.464008331298828 × 131072)
    floor (60818.5)     		tx = 60818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307147979736328 × 217)
    floor (0.307147979736328 × 131072)
    floor (40258.5)     		ty = 40258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60818 / 40258 ti = "17/60818/40258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60818/40258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60818 ÷ 217
    60818 ÷ 131072     		x = 0.464004516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40258 ÷ 217
    40258 ÷ 131072     		y = 0.307144165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464004516601562 × 2 - 1) × π
    -0.071990966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22616629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307144165039062 × 2 - 1) × π
    0.385711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21174894859578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22616629} λ = -0.22616629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21174894859578))-π/2
    2×atan(3.35935485666937)-π/2
    2×1.28147281686155-π/2
    2.56294563372311-1.57079632675     		φ = 0.99214931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22616629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.958374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99214931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.845968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60818 KachelY 40258 -0.22616629 0.99214931 -12.958374 56.845968
    Oben rechts KachelX + 1 60819 KachelY 40258 -0.22611836 0.99214931 -12.955628 56.845968
    Unten links KachelX 60818 KachelY + 1 40259 -0.22616629 0.99212309 -12.958374 56.844466
    Unten rechts KachelX + 1 60819 KachelY + 1 40259 -0.22611836 0.99212309 -12.955628 56.844466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99214931-0.99212309) × R
    2.62199999999657e-05 × 6371000     		dl = 167.047619999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99214931-0.99212309) × R
    2.62199999999657e-05 × 6371000     		dr = 167.047619999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22616629--0.22611836) × cos(0.99214931) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546891715623877 × 6371000     		do = 166.999964473095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22616629--0.22611836) × cos(0.99212309) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.546913666907754 × 6371000     		du = 167.006667561701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99214931)-sin(0.99212309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546891715623877-0.546913666907754)×R²
    abs(-0.22611836--0.22616629)×2.1951283876942e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1951283876942e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1951283876942e-05×40589641000000     		ar = 27897.506474387m²