Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60817 / 83501
↖ ↑ ↗
← S 44.176294°
W 12.961121°		 ← 219.05 m → S 44.176294°
W 12.958374°		 →
↑
219.03 m
↓
↑
219.03 m
↓
S 44.178264°
W 12.961121°		 ← 219.04 m →
47 979 m²		 S 44.178264°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464000701904297 y=0.637065887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464000701904297 × 217)
    floor (0.464000701904297 × 131072)
    floor (60817.5)     		tx = 60817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637065887451172 × 217)
    floor (0.637065887451172 × 131072)
    floor (83501.5)     		ty = 83501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60817 / 83501 ti = "17/60817/83501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60817/83501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60817 ÷ 217
    60817 ÷ 131072     		x = 0.463996887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83501 ÷ 217
    83501 ÷ 131072     		y = 0.637062072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463996887207031 × 2 - 1) × π
    -0.0720062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22621423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637062072753906 × 2 - 1) × π
    -0.274124145507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.861186401674309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22621423} λ = -0.22621423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861186401674309))-π/2
    2×atan(0.422660339807712)-π/2
    2×0.399887266341094-π/2
    0.799774532682188-1.57079632675     		φ = -0.77102179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22621423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77102179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.176294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60817 KachelY 83501 -0.22621423 -0.77102179 -12.961121 -44.176294
    Oben rechts KachelX + 1 60818 KachelY 83501 -0.22616629 -0.77102179 -12.958374 -44.176294
    Unten links KachelX 60817 KachelY + 1 83502 -0.22621423 -0.77105617 -12.961121 -44.178264
    Unten rechts KachelX + 1 60818 KachelY + 1 83502 -0.22616629 -0.77105617 -12.958374 -44.178264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77102179--0.77105617) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dl = 219.034980000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77102179--0.77105617) × R
    3.43800000000005e-05 × 6371000     		dr = 219.034980000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(-0.77102179) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717198990940231 × 6371000     		do = 219.051032535156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(-0.77105617) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.717175032179786 × 6371000     		du = 219.043714913018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77102179)-sin(-0.77105617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717198990940231-0.717175032179786)×R²
    abs(-0.22616629--0.22621423)×2.39587604446978e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39587604446978e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39587604446978e-05×40589641000000     		ar = 47979.0371274127m²