Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60817 / 41072
↖ ↑ ↗
← N 55.603178°
W 12.961121°		 ← 172.54 m → N 55.603178°
W 12.958374°		 →
↑
172.53 m
↓
↑
172.53 m
↓
N 55.601626°
W 12.961121°		 ← 172.55 m →
29 769 m²		 N 55.601626°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464000701904297 y=0.313358306884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464000701904297 × 217)
    floor (0.464000701904297 × 131072)
    floor (60817.5)     		tx = 60817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313358306884766 × 217)
    floor (0.313358306884766 × 131072)
    floor (41072.5)     		ty = 41072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60817 / 41072 ti = "17/60817/41072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60817/41072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60817 ÷ 217
    60817 ÷ 131072     		x = 0.463996887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41072 ÷ 217
    41072 ÷ 131072     		y = 0.3133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463996887207031 × 2 - 1) × π
    -0.0720062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22621423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3133544921875 × 2 - 1) × π
    0.373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17272831230505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22621423} λ = -0.22621423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17272831230505))-π/2
    2×atan(3.23079524335821)-π/2
    2×1.27062743019926-π/2
    2.54125486039852-1.57079632675     		φ = 0.97045853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22621423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97045853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.603178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60817 KachelY 41072 -0.22621423 0.97045853 -12.961121 55.603178
    Oben rechts KachelX + 1 60818 KachelY 41072 -0.22616629 0.97045853 -12.958374 55.603178
    Unten links KachelX 60817 KachelY + 1 41073 -0.22621423 0.97043145 -12.961121 55.601626
    Unten rechts KachelX + 1 60818 KachelY + 1 41073 -0.22616629 0.97043145 -12.958374 55.601626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97045853-0.97043145) × R
    2.70800000000682e-05 × 6371000     		dl = 172.526680000434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97045853-0.97043145) × R
    2.70800000000682e-05 × 6371000     		dr = 172.526680000434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(0.97045853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564921236900427 × 6371000     		do = 172.541486822015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(0.97043145) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.564943581615377 × 6371000     		du = 172.548311473114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97045853)-sin(0.97043145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564921236900427-0.564943581615377)×R²
    abs(-0.22616629--0.22621423)×2.23447149501066e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23447149501066e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23447149501066e-05×40589641000000     		ar = 29768.598602697m²