Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60817 / 40751
↖ ↑ ↗
← N 56.098088°
W 12.961121°		 ← 170.36 m → N 56.098088°
W 12.958374°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
N 56.096556°
W 12.961121°		 ← 170.36 m →
29 023 m²		 N 56.096556°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464000701904297 y=0.310909271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464000701904297 × 217)
    floor (0.464000701904297 × 131072)
    floor (60817.5)     		tx = 60817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310909271240234 × 217)
    floor (0.310909271240234 × 131072)
    floor (40751.5)     		ty = 40751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60817 / 40751 ti = "17/60817/40751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60817/40751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60817 ÷ 217
    60817 ÷ 131072     		x = 0.463996887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40751 ÷ 217
    40751 ÷ 131072     		y = 0.310905456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463996887207031 × 2 - 1) × π
    -0.0720062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22621423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310905456542969 × 2 - 1) × π
    0.378189086914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.18811605708309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22621423} λ = -0.22621423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18811605708309))-π/2
    2×atan(3.28089436368523)-π/2
    2×1.27494633104154-π/2
    2.54989266208307-1.57079632675     		φ = 0.97909634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22621423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97909634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.098088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60817 KachelY 40751 -0.22621423 0.97909634 -12.961121 56.098088
    Oben rechts KachelX + 1 60818 KachelY 40751 -0.22616629 0.97909634 -12.958374 56.098088
    Unten links KachelX 60817 KachelY + 1 40752 -0.22621423 0.97906960 -12.961121 56.096556
    Unten rechts KachelX + 1 60818 KachelY + 1 40752 -0.22616629 0.97906960 -12.958374 56.096556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97909634-0.97906960) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dl = 170.36054000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97909634-0.97906960) × R
    2.67400000000251e-05 × 6371000     		dr = 170.36054000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(0.97909634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557772806485216 × 6371000     		do = 170.358172172611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(0.97906960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557795000316603 × 6371000     		du = 170.364950739986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97909634)-sin(0.97906960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557772806485216-0.557795000316603)×R²
    abs(-0.22616629--0.22621423)×2.21938313877956e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21938313877956e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21938313877956e-05×40589641000000     		ar = 29022.887606629m²