Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60817 / 32111
↖ ↑ ↗
← N 67.222116°
W 12.961121°		 ← 118.25 m → N 67.222116°
W 12.958374°		 →
↑
118.25 m
↓
↑
118.25 m
↓
N 67.221053°
W 12.961121°		 ← 118.25 m →
13 983 m²		 N 67.221053°
W 12.958374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464000701904297 y=0.244991302490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464000701904297 × 217)
    floor (0.464000701904297 × 131072)
    floor (60817.5)     		tx = 60817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244991302490234 × 217)
    floor (0.244991302490234 × 131072)
    floor (32111.5)     		ty = 32111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60817 / 32111 ti = "17/60817/32111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60817/32111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60817 ÷ 217
    60817 ÷ 131072     		x = 0.463996887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32111 ÷ 217
    32111 ÷ 131072     		y = 0.244987487792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463996887207031 × 2 - 1) × π
    -0.0720062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22621423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244987487792969 × 2 - 1) × π
    0.510025024414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.60229086980038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22621423} λ = -0.22621423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60229086980038))-π/2
    2×atan(4.96439218369313)-π/2
    2×1.37202179368078-π/2
    2.74404358736156-1.57079632675     		φ = 1.17324726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22621423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.961121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17324726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.222116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60817 KachelY 32111 -0.22621423 1.17324726 -12.961121 67.222116
    Oben rechts KachelX + 1 60818 KachelY 32111 -0.22616629 1.17324726 -12.958374 67.222116
    Unten links KachelX 60817 KachelY + 1 32112 -0.22621423 1.17322870 -12.961121 67.221053
    Unten rechts KachelX + 1 60818 KachelY + 1 32112 -0.22616629 1.17322870 -12.958374 67.221053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17324726-1.17322870) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dl = 118.245760000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17324726-1.17322870) × R
    1.85600000000008e-05 × 6371000     		dr = 118.245760000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(1.17324726) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387159715962912 × 6371000     		do = 118.248542746153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22621423--0.22616629) × cos(1.17322870) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387176828451289 × 6371000     		du = 118.253769340579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17324726)-sin(1.17322870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387159715962912-0.387176828451289)×R²
    abs(-0.22616629--0.22621423)×1.71124883774354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71124883774354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71124883774354e-05×40589641000000     		ar = 13982.6978177208m²