Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60816 / 32409
↖ ↑ ↗
← N 66.903139°
W 12.963867°		 ← 119.81 m → N 66.903139°
W 12.961121°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
N 66.902062°
W 12.963867°		 ← 119.82 m →
14 351 m²		 N 66.902062°
W 12.961121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463993072509766 y=0.247264862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463993072509766 × 217)
    floor (0.463993072509766 × 131072)
    floor (60816.5)     		tx = 60816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247264862060547 × 217)
    floor (0.247264862060547 × 131072)
    floor (32409.5)     		ty = 32409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60816 / 32409 ti = "17/60816/32409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60816/32409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60816 ÷ 217
    60816 ÷ 131072     		x = 0.4639892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32409 ÷ 217
    32409 ÷ 131072     		y = 0.247261047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.072021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22626217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247261047363281 × 2 - 1) × π
    0.505477905273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.5880056737136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22626217} λ = -0.22626217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5880056737136))-π/2
    2×atan(4.89397899838919)-π/2
    2×1.36923819033054-π/2
    2.73847638066108-1.57079632675     		φ = 1.16768005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22626217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.963867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16768005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.903139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60816 KachelY 32409 -0.22626217 1.16768005 -12.963867 66.903139
    Oben rechts KachelX + 1 60817 KachelY 32409 -0.22621423 1.16768005 -12.961121 66.903139
    Unten links KachelX 60816 KachelY + 1 32410 -0.22626217 1.16766125 -12.963867 66.902062
    Unten rechts KachelX + 1 60817 KachelY + 1 32410 -0.22621423 1.16766125 -12.961121 66.902062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16768005-1.16766125) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dl = 119.7747999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16768005-1.16766125) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dr = 119.7747999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22626217--0.22621423) × cos(1.16768005) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.392286727810827 × 6371000     		do = 119.81446413386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22626217--0.22621423) × cos(1.16766125) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.392304020789681 × 6371000     		du = 119.819745854724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16768005)-sin(1.16766125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392286727810827-0.392304020789681)×R²
    abs(-0.22621423--0.22626217)×1.72929788546106e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72929788546106e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72929788546106e-05×40589641000000     		ar = 14351.0697876875m²