Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60814 / 32408
↖ ↑ ↗
← N 66.904216°
W 12.969360°		 ← 119.81 m → N 66.904216°
W 12.966614°		 →
↑
119.84 m
↓
↑
119.84 m
↓
N 66.903139°
W 12.969360°		 ← 119.81 m →
14 358 m²		 N 66.903139°
W 12.966614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463977813720703 y=0.247257232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463977813720703 × 217)
    floor (0.463977813720703 × 131072)
    floor (60814.5)     		tx = 60814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247257232666016 × 217)
    floor (0.247257232666016 × 131072)
    floor (32408.5)     		ty = 32408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60814 / 32408 ti = "17/60814/32408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60814/32408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60814 ÷ 217
    60814 ÷ 131072     		x = 0.463973999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32408 ÷ 217
    32408 ÷ 131072     		y = 0.24725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463973999023438 × 2 - 1) × π
    -0.072052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22635804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24725341796875 × 2 - 1) × π
    0.5054931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58805361061322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22635804} λ = -0.22635804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58805361061322))-π/2
    2×atan(4.89421360619232)-π/2
    2×1.36924759262791-π/2
    2.73849518525581-1.57079632675     		φ = 1.16769886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22635804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.969360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16769886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.904216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60814 KachelY 32408 -0.22635804 1.16769886 -12.969360 66.904216
    Oben rechts KachelX + 1 60815 KachelY 32408 -0.22631010 1.16769886 -12.966614 66.904216
    Unten links KachelX 60814 KachelY + 1 32409 -0.22635804 1.16768005 -12.969360 66.903139
    Unten rechts KachelX + 1 60815 KachelY + 1 32409 -0.22631010 1.16768005 -12.966614 66.903139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16769886-1.16768005) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dl = 119.838510000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16769886-1.16768005) × R
    1.88100000000357e-05 × 6371000     		dr = 119.838510000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22635804--0.22631010) × cos(1.16769886) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.392269425494818 × 6371000     		do = 119.80917956119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22635804--0.22631010) × cos(1.16768005) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.392286727810827 × 6371000     		du = 119.81446413386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16769886)-sin(1.16768005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392269425494818-0.392286727810827)×R²
    abs(-0.22631010--0.22635804)×1.73023160082164e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.73023160082164e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.73023160082164e-05×40589641000000     		ar = 14358.070211035m²