Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60814 / 26349
↖ ↑ ↗
← N 72.622713°
W 12.969360°		 ← 91.22 m → N 72.622713°
W 12.966614°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
N 72.621892°
W 12.969360°		 ← 91.22 m →
8 322 m²		 N 72.621892°
W 12.966614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463977813720703 y=0.201030731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463977813720703 × 217)
    floor (0.463977813720703 × 131072)
    floor (60814.5)     		tx = 60814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201030731201172 × 217)
    floor (0.201030731201172 × 131072)
    floor (26349.5)     		ty = 26349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60814 / 26349 ti = "17/60814/26349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60814/26349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60814 ÷ 217
    60814 ÷ 131072     		x = 0.463973999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26349 ÷ 217
    26349 ÷ 131072     		y = 0.201026916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463973999023438 × 2 - 1) × π
    -0.072052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22635804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201026916503906 × 2 - 1) × π
    0.597946166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.87850328541114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22635804} λ = -0.22635804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87850328541114))-π/2
    2×atan(6.54370347262684)-π/2
    2×1.41915088926863-π/2
    2.83830177853726-1.57079632675     		φ = 1.26750545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22635804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.969360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26750545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.622713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60814 KachelY 26349 -0.22635804 1.26750545 -12.969360 72.622713
    Oben rechts KachelX + 1 60815 KachelY 26349 -0.22631010 1.26750545 -12.966614 72.622713
    Unten links KachelX 60814 KachelY + 1 26350 -0.22635804 1.26749113 -12.969360 72.621892
    Unten rechts KachelX + 1 60815 KachelY + 1 26350 -0.22631010 1.26749113 -12.966614 72.621892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26750545-1.26749113) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26750545-1.26749113) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22635804--0.22631010) × cos(1.26750545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.298662495448784 × 6371000     		do = 91.2192136827374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22635804--0.22631010) × cos(1.26749113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.298676161836138 × 6371000     		du = 91.223387749208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26750545)-sin(1.26749113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298662495448784-0.298676161836138)×R²
    abs(-0.22631010--0.22635804)×1.36663873533394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.36663873533394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.36663873533394e-05×40589641000000     		ar = 8322.36738637083m²