Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60813 / 83467
↖ ↑ ↗
← S 44.109282°
W 12.972107°		 ← 219.30 m → S 44.109282°
W 12.969360°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
S 44.111254°
W 12.972107°		 ← 219.29 m →
48 089 m²		 S 44.111254°
W 12.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463970184326172 y=0.636806488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463970184326172 × 217)
    floor (0.463970184326172 × 131072)
    floor (60813.5)     		tx = 60813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636806488037109 × 217)
    floor (0.636806488037109 × 131072)
    floor (83467.5)     		ty = 83467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60813 / 83467 ti = "17/60813/83467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60813/83467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60813 ÷ 217
    60813 ÷ 131072     		x = 0.463966369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83467 ÷ 217
    83467 ÷ 131072     		y = 0.636802673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463966369628906 × 2 - 1) × π
    -0.0720672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22640598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636802673339844 × 2 - 1) × π
    -0.273605346679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.859556547087227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22640598} λ = -0.22640598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859556547087227))-π/2
    2×atan(0.423349776389393)-π/2
    2×0.400472063279782-π/2
    0.800944126559564-1.57079632675     		φ = -0.76985220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22640598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.972107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76985220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.109282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60813 KachelY 83467 -0.22640598 -0.76985220 -12.972107 -44.109282
    Oben rechts KachelX + 1 60814 KachelY 83467 -0.22635804 -0.76985220 -12.969360 -44.109282
    Unten links KachelX 60813 KachelY + 1 83468 -0.22640598 -0.76988662 -12.972107 -44.111254
    Unten rechts KachelX + 1 60814 KachelY + 1 83468 -0.22635804 -0.76988662 -12.969360 -44.111254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76985220--0.76988662) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76985220--0.76988662) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22640598--0.22635804) × cos(-0.76985220) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718013550557516 × 6371000     		do = 219.29982000904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22640598--0.22635804) × cos(-0.76988662) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71798959280975 × 6371000     		du = 219.2925026962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76985220)-sin(-0.76988662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718013550557516-0.71798959280975)×R²
    abs(-0.22635804--0.22640598)×2.39577477657571e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39577477657571e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39577477657571e-05×40589641000000     		ar = 48089.4157545433m²