Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60813 / 33358
↖ ↑ ↗
← N 65.859003°
W 12.972107°		 ← 124.91 m → N 65.859003°
W 12.969360°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
N 65.857880°
W 12.972107°		 ← 124.92 m →
15 607 m²		 N 65.857880°
W 12.969360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463970184326172 y=0.254505157470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463970184326172 × 217)
    floor (0.463970184326172 × 131072)
    floor (60813.5)     		tx = 60813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254505157470703 × 217)
    floor (0.254505157470703 × 131072)
    floor (33358.5)     		ty = 33358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60813 / 33358 ti = "17/60813/33358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60813/33358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60813 ÷ 217
    60813 ÷ 131072     		x = 0.463966369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33358 ÷ 217
    33358 ÷ 131072     		y = 0.254501342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463966369628906 × 2 - 1) × π
    -0.0720672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22640598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254501342773438 × 2 - 1) × π
    0.490997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.54251355597417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22640598} λ = -0.22640598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54251355597417))-π/2
    2×atan(4.67632972744047)-π/2
    2×1.36012638726995-π/2
    2.72025277453989-1.57079632675     		φ = 1.14945645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22640598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.972107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14945645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.859003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60813 KachelY 33358 -0.22640598 1.14945645 -12.972107 65.859003
    Oben rechts KachelX + 1 60814 KachelY 33358 -0.22635804 1.14945645 -12.969360 65.859003
    Unten links KachelX 60813 KachelY + 1 33359 -0.22640598 1.14943684 -12.972107 65.857880
    Unten rechts KachelX + 1 60814 KachelY + 1 33359 -0.22635804 1.14943684 -12.969360 65.857880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14945645-1.14943684) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dl = 124.935310000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14945645-1.14943684) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dr = 124.935310000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22640598--0.22635804) × cos(1.14945645) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408983513356344 × 6371000     		do = 124.914092214652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22640598--0.22635804) × cos(1.14943684) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.409001408221856 × 6371000     		du = 124.919557767193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14945645)-sin(1.14943684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408983513356344-0.409001408221856)×R²
    abs(-0.22635804--0.22640598)×1.78948655117916e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78948655117916e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78948655117916e-05×40589641000000     		ar = 15606.5222551134m²