Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60812 / 40325
↖ ↑ ↗
← N 56.745193°
W 12.974853°		 ← 167.45 m → N 56.745193°
W 12.972107°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.743687°
W 12.974853°		 ← 167.46 m →
28 037 m²		 N 56.743687°
W 12.972107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463962554931641 y=0.307659149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463962554931641 × 217)
    floor (0.463962554931641 × 131072)
    floor (60812.5)     		tx = 60812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307659149169922 × 217)
    floor (0.307659149169922 × 131072)
    floor (40325.5)     		ty = 40325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60812 / 40325 ti = "17/60812/40325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60812/40325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60812 ÷ 217
    60812 ÷ 131072     		x = 0.463958740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40325 ÷ 217
    40325 ÷ 131072     		y = 0.307655334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307655334472656 × 2 - 1) × π
    0.384689331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20853717632124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22645391} λ = -0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20853717632124))-π/2
    2×atan(3.3485826820263)-π/2
    2×1.28059338966635-π/2
    2.56118677933269-1.57079632675     		φ = 0.99039045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99039045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.745193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60812 KachelY 40325 -0.22645391 0.99039045 -12.974853 56.745193
    Oben rechts KachelX + 1 60813 KachelY 40325 -0.22640598 0.99039045 -12.972107 56.745193
    Unten links KachelX 60812 KachelY + 1 40326 -0.22645391 0.99036417 -12.974853 56.743687
    Unten rechts KachelX + 1 60813 KachelY + 1 40326 -0.22640598 0.99036417 -12.972107 56.743687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99039045-0.99036417) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99039045-0.99036417) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22645391--0.22640598) × cos(0.99039045) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548363392422323 × 6371000     		do = 167.449358687773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22645391--0.22640598) × cos(0.99036417) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.548385368624124 × 6371000     		du = 167.456069385366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99039045)-sin(0.99036417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548363392422323-0.548385368624124)×R²
    abs(-0.22640598--0.22645391)×2.19762018007774e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19762018007774e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19762018007774e-05×40589641000000     		ar = 28036.5878185445m²