Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60812 / 33359
↖ ↑ ↗
← N 65.857880°
W 12.974853°		 ← 124.89 m → N 65.857880°
W 12.972107°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
N 65.856757°
W 12.974853°		 ← 124.90 m →
15 596 m²		 N 65.856757°
W 12.972107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463962554931641 y=0.254512786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463962554931641 × 217)
    floor (0.463962554931641 × 131072)
    floor (60812.5)     		tx = 60812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.254512786865234 × 217)
    floor (0.254512786865234 × 131072)
    floor (33359.5)     		ty = 33359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60812 / 33359 ti = "17/60812/33359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60812/33359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60812 ÷ 217
    60812 ÷ 131072     		x = 0.463958740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33359 ÷ 217
    33359 ÷ 131072     		y = 0.254508972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.07208251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22645391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.254508972167969 × 2 - 1) × π
    0.490982055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.54246561907455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22645391} λ = -0.22645391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54246561907455))-π/2
    2×atan(4.67610556406463)-π/2
    2×1.36011658435467-π/2
    2.72023316870935-1.57079632675     		φ = 1.14943684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22645391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.974853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14943684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.857880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60812 KachelY 33359 -0.22645391 1.14943684 -12.974853 65.857880
    Oben rechts KachelX + 1 60813 KachelY 33359 -0.22640598 1.14943684 -12.972107 65.857880
    Unten links KachelX 60812 KachelY + 1 33360 -0.22645391 1.14941724 -12.974853 65.856757
    Unten rechts KachelX + 1 60813 KachelY + 1 33360 -0.22640598 1.14941724 -12.972107 65.856757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14943684-1.14941724) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14943684-1.14941724) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22645391--0.22640598) × cos(1.14943684) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.409001408221856 × 6371000     		do = 124.893500287489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22645391--0.22640598) × cos(1.14941724) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.409019293804828 × 6371000     		du = 124.898961865413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14943684)-sin(1.14941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409001408221856-0.409019293804828)×R²
    abs(-0.22640598--0.22645391)×1.78855829719438e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78855829719438e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78855829719438e-05×40589641000000     		ar = 15595.9922089088m²