Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60811 / 83465
↖ ↑ ↗
← S 44.105338°
W 12.977600°		 ← 219.31 m → S 44.105338°
W 12.974853°		 →
↑
219.29 m
↓
↑
219.29 m
↓
S 44.107310°
W 12.977600°		 ← 219.31 m →
48 093 m²		 S 44.107310°
W 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463954925537109 y=0.636791229248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463954925537109 × 217)
    floor (0.463954925537109 × 131072)
    floor (60811.5)     		tx = 60811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636791229248047 × 217)
    floor (0.636791229248047 × 131072)
    floor (83465.5)     		ty = 83465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60811 / 83465 ti = "17/60811/83465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60811/83465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60811 ÷ 217
    60811 ÷ 131072     		x = 0.463951110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83465 ÷ 217
    83465 ÷ 131072     		y = 0.636787414550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463951110839844 × 2 - 1) × π
    -0.0720977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22650185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636787414550781 × 2 - 1) × π
    -0.273574829101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.859460673287987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22650185} λ = -0.22650185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.859460673287987))-π/2
    2×atan(0.423390366486596)-π/2
    2×0.400506483771689-π/2
    0.801012967543378-1.57079632675     		φ = -0.76978336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22650185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.977600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76978336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.105338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60811 KachelY 83465 -0.22650185 -0.76978336 -12.977600 -44.105338
    Oben rechts KachelX + 1 60812 KachelY 83465 -0.22645391 -0.76978336 -12.974853 -44.105338
    Unten links KachelX 60811 KachelY + 1 83466 -0.22650185 -0.76981778 -12.977600 -44.107310
    Unten rechts KachelX + 1 60812 KachelY + 1 83466 -0.22645391 -0.76981778 -12.974853 -44.107310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76978336--0.76981778) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dl = 219.289819999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76978336--0.76981778) × R
    3.44199999999795e-05 × 6371000     		dr = 219.289819999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22650185--0.22645391) × cos(-0.76978336) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718061463501049 × 6371000     		do = 219.314453855274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22650185--0.22645391) × cos(-0.76981778) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.718037507454625 × 6371000     		du = 219.307137062068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76978336)-sin(-0.76981778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718061463501049-0.718037507454625)×R²
    abs(-0.22645391--0.22650185)×2.39560464238009e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39560464238009e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39560464238009e-05×40589641000000     		ar = 48092.6248649975m²