Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60811 / 56338
↖ ↑ ↗
← N 24.482149°
W 12.977600°		 ← 277.97 m → N 24.482149°
W 12.974853°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.479650°
W 12.977600°		 ← 277.97 m →
77 248 m²		 N 24.479650°
W 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463954925537109 y=0.429828643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463954925537109 × 217)
    floor (0.463954925537109 × 131072)
    floor (60811.5)     		tx = 60811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429828643798828 × 217)
    floor (0.429828643798828 × 131072)
    floor (56338.5)     		ty = 56338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60811 / 56338 ti = "17/60811/56338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60811/56338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60811 ÷ 217
    60811 ÷ 131072     		x = 0.463951110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56338 ÷ 217
    56338 ÷ 131072     		y = 0.429824829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463951110839844 × 2 - 1) × π
    -0.0720977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22650185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429824829101562 × 2 - 1) × π
    0.140350341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.440923602705276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22650185} λ = -0.22650185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440923602705276))-π/2
    2×atan(1.55414196556499)-π/2
    2×0.999045220771256-π/2
    1.99809044154251-1.57079632675     		φ = 0.42729411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22650185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.977600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42729411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.482149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60811 KachelY 56338 -0.22650185 0.42729411 -12.977600 24.482149
    Oben rechts KachelX + 1 60812 KachelY 56338 -0.22645391 0.42729411 -12.974853 24.482149
    Unten links KachelX 60811 KachelY + 1 56339 -0.22650185 0.42725049 -12.977600 24.479650
    Unten rechts KachelX + 1 60812 KachelY + 1 56339 -0.22645391 0.42725049 -12.974853 24.479650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42729411-0.42725049) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dl = 277.90302000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42729411-0.42725049) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dr = 277.90302000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22650185--0.22645391) × cos(0.42729411) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91009042718478 × 6371000     		do = 277.965042189806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22650185--0.22645391) × cos(0.42725049) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910108502870856 × 6371000     		du = 277.970562969602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42729411)-sin(0.42725049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91009042718478-0.910108502870856)×R²
    abs(-0.22645391--0.22650185)×1.80756860755915e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80756860755915e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80756860755915e-05×40589641000000     		ar = 77248.0918120182m²