Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60811 / 40325
↖ ↑ ↗
← N 56.745193°
W 12.977600°		 ← 167.48 m → N 56.745193°
W 12.974853°		 →
↑
167.43 m
↓
↑
167.43 m
↓
N 56.743687°
W 12.977600°		 ← 167.49 m →
28 042 m²		 N 56.743687°
W 12.974853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463954925537109 y=0.307659149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463954925537109 × 217)
    floor (0.463954925537109 × 131072)
    floor (60811.5)     		tx = 60811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307659149169922 × 217)
    floor (0.307659149169922 × 131072)
    floor (40325.5)     		ty = 40325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60811 / 40325 ti = "17/60811/40325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60811/40325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60811 ÷ 217
    60811 ÷ 131072     		x = 0.463951110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40325 ÷ 217
    40325 ÷ 131072     		y = 0.307655334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463951110839844 × 2 - 1) × π
    -0.0720977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22650185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307655334472656 × 2 - 1) × π
    0.384689331054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.20853717632124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22650185} λ = -0.22650185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20853717632124))-π/2
    2×atan(3.3485826820263)-π/2
    2×1.28059338966635-π/2
    2.56118677933269-1.57079632675     		φ = 0.99039045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22650185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.977600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99039045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.745193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60811 KachelY 40325 -0.22650185 0.99039045 -12.977600 56.745193
    Oben rechts KachelX + 1 60812 KachelY 40325 -0.22645391 0.99039045 -12.974853 56.745193
    Unten links KachelX 60811 KachelY + 1 40326 -0.22650185 0.99036417 -12.977600 56.743687
    Unten rechts KachelX + 1 60812 KachelY + 1 40326 -0.22645391 0.99036417 -12.974853 56.743687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99039045-0.99036417) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dl = 167.429880000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99039045-0.99036417) × R
    2.62800000000452e-05 × 6371000     		dr = 167.429880000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22650185--0.22645391) × cos(0.99039045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548363392422323 × 6371000     		do = 167.484294919486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22650185--0.22645391) × cos(0.99036417) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548385368624124 × 6371000     		du = 167.491007017183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99039045)-sin(0.99036417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548363392422323-0.548385368624124)×R²
    abs(-0.22645391--0.22650185)×2.19762018007774e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19762018007774e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19762018007774e-05×40589641000000     		ar = 28042.4373048378m²