Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60810 / 56343
↖ ↑ ↗
← N 24.469651°
W 12.980347°		 ← 277.99 m → N 24.469651°
W 12.977600°		 →
↑
277.97 m
↓
↑
277.97 m
↓
N 24.467151°
W 12.980347°		 ← 278 m →
77 273 m²		 N 24.467151°
W 12.977600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463947296142578 y=0.429866790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463947296142578 × 217)
    floor (0.463947296142578 × 131072)
    floor (60810.5)     		tx = 60810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429866790771484 × 217)
    floor (0.429866790771484 × 131072)
    floor (56343.5)     		ty = 56343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60810 / 56343 ti = "17/60810/56343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60810/56343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60810 ÷ 217
    60810 ÷ 131072     		x = 0.463943481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56343 ÷ 217
    56343 ÷ 131072     		y = 0.429862976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463943481445312 × 2 - 1) × π
    -0.072113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22654979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429862976074219 × 2 - 1) × π
    0.140274047851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.440683918207176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22654979} λ = -0.22654979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440683918207176))-π/2
    2×atan(1.55376950646612)-π/2
    2×0.99893614807185-π/2
    1.9978722961437-1.57079632675     		φ = 0.42707597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22654979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.980347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42707597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.469651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60810 KachelY 56343 -0.22654979 0.42707597 -12.980347 24.469651
    Oben rechts KachelX + 1 60811 KachelY 56343 -0.22650185 0.42707597 -12.977600 24.469651
    Unten links KachelX 60810 KachelY + 1 56344 -0.22654979 0.42703234 -12.980347 24.467151
    Unten rechts KachelX + 1 60811 KachelY + 1 56344 -0.22650185 0.42703234 -12.977600 24.467151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42707597-0.42703234) × R
    4.36300000000167e-05 × 6371000     		dl = 277.966730000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42707597-0.42703234) × R
    4.36300000000167e-05 × 6371000     		dr = 277.966730000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22654979--0.22650185) × cos(0.42707597) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910180804866587 × 6371000     		do = 277.992645860152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22654979--0.22650185) × cos(0.42703234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910198876034109 × 6371000     		du = 277.998165259865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42707597)-sin(0.42703234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910180804866587-0.910198876034109)×R²
    abs(-0.22650185--0.22654979)×1.8071167521061e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8071167521061e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8071167521061e-05×40589641000000     		ar = 77273.4738507575m²