Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60807 / 56341
↖ ↑ ↗
← N 24.474650°
W 12.988587°		 ← 277.98 m → N 24.474650°
W 12.985840°		 →
↑
277.97 m
↓
↑
277.97 m
↓
N 24.472150°
W 12.988587°		 ← 277.99 m →
77 270 m²		 N 24.472150°
W 12.985840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463924407958984 y=0.429851531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463924407958984 × 217)
    floor (0.463924407958984 × 131072)
    floor (60807.5)     		tx = 60807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429851531982422 × 217)
    floor (0.429851531982422 × 131072)
    floor (56341.5)     		ty = 56341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60807 / 56341 ti = "17/60807/56341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60807/56341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60807 ÷ 217
    60807 ÷ 131072     		x = 0.463920593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56341 ÷ 217
    56341 ÷ 131072     		y = 0.429847717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463920593261719 × 2 - 1) × π
    -0.0721588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22669360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429847717285156 × 2 - 1) × π
    0.140304565429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.440779792006416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22669360} λ = -0.22669360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440779792006416))-π/2
    2×atan(1.55391847939303)-π/2
    2×0.998979778451356-π/2
    1.99795955690271-1.57079632675     		φ = 0.42716323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22669360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.988587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42716323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.474650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60807 KachelY 56341 -0.22669360 0.42716323 -12.988587 24.474650
    Oben rechts KachelX + 1 60808 KachelY 56341 -0.22664566 0.42716323 -12.985840 24.474650
    Unten links KachelX 60807 KachelY + 1 56342 -0.22669360 0.42711960 -12.988587 24.472150
    Unten rechts KachelX + 1 60808 KachelY + 1 56342 -0.22664566 0.42711960 -12.985840 24.472150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42716323-0.42711960) × R
    4.36300000000167e-05 × 6371000     		dl = 277.966730000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42716323-0.42711960) × R
    4.36300000000167e-05 × 6371000     		dr = 277.966730000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22669360--0.22664566) × cos(0.42716323) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910144657333782 × 6371000     		do = 277.981605473196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22669360--0.22664566) × cos(0.42711960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.910162731966467 × 6371000     		du = 277.987125931259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42716323)-sin(0.42711960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910144657333782-0.910162731966467)×R²
    abs(-0.22664566--0.22669360)×1.80746326848835e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80746326848835e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80746326848835e-05×40589641000000     		ar = 77270.4051376759m²