Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60806 / 32422
↖ ↑ ↗
← N 66.889128°
W 12.991333°		 ← 119.88 m → N 66.889128°
W 12.988587°		 →
↑
119.90 m
↓
↑
119.90 m
↓
N 66.888050°
W 12.991333°		 ← 119.89 m →
14 375 m²		 N 66.888050°
W 12.988587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463916778564453 y=0.247364044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463916778564453 × 217)
    floor (0.463916778564453 × 131072)
    floor (60806.5)     		tx = 60806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247364044189453 × 217)
    floor (0.247364044189453 × 131072)
    floor (32422.5)     		ty = 32422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60806 / 32422 ti = "17/60806/32422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60806/32422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60806 ÷ 217
    60806 ÷ 131072     		x = 0.463912963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32422 ÷ 217
    32422 ÷ 131072     		y = 0.247360229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463912963867188 × 2 - 1) × π
    -0.072174072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22674154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247360229492188 × 2 - 1) × π
    0.505279541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58738249401854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22674154} λ = -0.22674154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58738249401854))-π/2
    2×atan(4.89093012014752)-π/2
    2×1.36911592273094-π/2
    2.73823184546187-1.57079632675     		φ = 1.16743552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22674154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.991333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16743552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.889128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60806 KachelY 32422 -0.22674154 1.16743552 -12.991333 66.889128
    Oben rechts KachelX + 1 60807 KachelY 32422 -0.22669360 1.16743552 -12.988587 66.889128
    Unten links KachelX 60806 KachelY + 1 32423 -0.22674154 1.16741670 -12.991333 66.888050
    Unten rechts KachelX + 1 60807 KachelY + 1 32423 -0.22669360 1.16741670 -12.988587 66.888050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16743552-1.16741670) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dl = 119.902219999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16743552-1.16741670) × R
    1.8819999999975e-05 × 6371000     		dr = 119.902219999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22674154--0.22669360) × cos(1.16743552) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.392511645286145 × 6371000     		do = 119.883159720129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22674154--0.22669360) × cos(1.16741670) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.39252895485583 × 6371000     		du = 119.888446508259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16743552)-sin(1.16741670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392511645286145-0.39252895485583)×R²
    abs(-0.22669360--0.22674154)×1.73095696845982e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73095696845982e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73095696845982e-05×40589641000000     		ar = 14374.5739402283m²