Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60805 / 83567
↖ ↑ ↗
← S 44.306161°
W 12.994079°		 ← 218.52 m → S 44.306161°
W 12.991333°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 44.308127°
W 12.994079°		 ← 218.52 m →
47 766 m²		 S 44.308127°
W 12.991333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463909149169922 y=0.637569427490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463909149169922 × 217)
    floor (0.463909149169922 × 131072)
    floor (60805.5)     		tx = 60805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637569427490234 × 217)
    floor (0.637569427490234 × 131072)
    floor (83567.5)     		ty = 83567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60805 / 83567 ti = "17/60805/83567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60805/83567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60805 ÷ 217
    60805 ÷ 131072     		x = 0.463905334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83567 ÷ 217
    83567 ÷ 131072     		y = 0.637565612792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463905334472656 × 2 - 1) × π
    -0.0721893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22678947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637565612792969 × 2 - 1) × π
    -0.275131225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.864350237049233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22678947} λ = -0.22678947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864350237049233))-π/2
    2×atan(0.421325225228111)-π/2
    2×0.398753967343282-π/2
    0.797507934686565-1.57079632675     		φ = -0.77328839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22678947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.994079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77328839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.306161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60805 KachelY 83567 -0.22678947 -0.77328839 -12.994079 -44.306161
    Oben rechts KachelX + 1 60806 KachelY 83567 -0.22674154 -0.77328839 -12.991333 -44.306161
    Unten links KachelX 60805 KachelY + 1 83568 -0.22678947 -0.77332270 -12.994079 -44.308127
    Unten rechts KachelX + 1 60806 KachelY + 1 83568 -0.22674154 -0.77332270 -12.991333 -44.308127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77328839--0.77332270) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77328839--0.77332270) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22678947--0.22674154) × cos(-0.77328839) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.71561762801607 × 6371000     		do = 218.522451594779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22678947--0.22674154) × cos(-0.77332270) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715593662326088 × 6371000     		du = 218.515133383036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77328839)-sin(-0.77332270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71561762801607-0.715593662326088)×R²
    abs(-0.22674154--0.22678947)×2.3965689981531e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3965689981531e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3965689981531e-05×40589641000000     		ar = 47765.8065212552m²