Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60804 / 32150
↖ ↑ ↗
← N 67.180610°
W 12.996826°		 ← 118.45 m → N 67.180610°
W 12.994079°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
N 67.179544°
W 12.996826°		 ← 118.46 m →
14 037 m²		 N 67.179544°
W 12.994079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463901519775391 y=0.245288848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463901519775391 × 217)
    floor (0.463901519775391 × 131072)
    floor (60804.5)     		tx = 60804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245288848876953 × 217)
    floor (0.245288848876953 × 131072)
    floor (32150.5)     		ty = 32150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60804 / 32150 ti = "17/60804/32150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60804/32150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60804 ÷ 217
    60804 ÷ 131072     		x = 0.463897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32150 ÷ 217
    32150 ÷ 131072     		y = 0.245285034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.07220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22683741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245285034179688 × 2 - 1) × π
    0.509429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60042133071519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22683741} λ = -0.22683741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60042133071519))-π/2
    2×atan(4.95511972878071)-π/2
    2×1.37165957650812-π/2
    2.74331915301623-1.57079632675     		φ = 1.17252283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22683741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.996826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17252283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.180610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60804 KachelY 32150 -0.22683741 1.17252283 -12.996826 67.180610
    Oben rechts KachelX + 1 60805 KachelY 32150 -0.22678947 1.17252283 -12.994079 67.180610
    Unten links KachelX 60804 KachelY + 1 32151 -0.22683741 1.17250423 -12.996826 67.179544
    Unten rechts KachelX + 1 60805 KachelY + 1 32151 -0.22678947 1.17250423 -12.994079 67.179544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17252283-1.17250423) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17252283-1.17250423) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22683741--0.22678947) × cos(1.17252283) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387827547948885 × 6371000     		do = 118.452515824665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22683741--0.22678947) × cos(1.17250423) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387844692096122 × 6371000     		du = 118.457752088521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17252283)-sin(1.17250423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387827547948885-0.387844692096122)×R²
    abs(-0.22678947--0.22683741)×1.71441472370804e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71441472370804e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71441472370804e-05×40589641000000     		ar = 14037.0044474018m²