Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60801 / 32126
↖ ↑ ↗
← N 67.206161°
W 13.005066°		 ← 118.33 m → N 67.206161°
W 13.002319°		 →
↑
118.31 m
↓
↑
118.31 m
↓
N 67.205097°
W 13.005066°		 ← 118.33 m →
14 000 m²		 N 67.205097°
W 13.002319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463878631591797 y=0.245105743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463878631591797 × 217)
    floor (0.463878631591797 × 131072)
    floor (60801.5)     		tx = 60801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245105743408203 × 217)
    floor (0.245105743408203 × 131072)
    floor (32126.5)     		ty = 32126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60801 / 32126 ti = "17/60801/32126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60801/32126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60801 ÷ 217
    60801 ÷ 131072     		x = 0.463874816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32126 ÷ 217
    32126 ÷ 131072     		y = 0.245101928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463874816894531 × 2 - 1) × π
    -0.0722503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22698122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245101928710938 × 2 - 1) × π
    0.509796142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.60157181630608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22698122} λ = -0.22698122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60157181630608))-π/2
    2×atan(4.96082380322833)-π/2
    2×1.371882553258-π/2
    2.743765106516-1.57079632675     		φ = 1.17296878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22698122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.005066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17296878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.206161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60801 KachelY 32126 -0.22698122 1.17296878 -13.005066 67.206161
    Oben rechts KachelX + 1 60802 KachelY 32126 -0.22693328 1.17296878 -13.002319 67.206161
    Unten links KachelX 60801 KachelY + 1 32127 -0.22698122 1.17295021 -13.005066 67.205097
    Unten rechts KachelX + 1 60802 KachelY + 1 32127 -0.22693328 1.17295021 -13.002319 67.205097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17296878-1.17295021) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dl = 118.309469999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17296878-1.17295021) × R
    1.856999999994e-05 × 6371000     		dr = 118.309469999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22698122--0.22693328) × cos(1.17296878) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.387416463034196 × 6371000     		do = 118.326959910461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22698122--0.22693328) × cos(1.17295021) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.387433582739773 × 6371000     		du = 118.332188709206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17296878)-sin(1.17295021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387416463034196-0.387433582739773)×R²
    abs(-0.22693328--0.22698122)×1.71197055764405e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.71197055764405e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.71197055764405e-05×40589641000000     		ar = 13999.5092224386m²