Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60800 / 32128
↖ ↑ ↗
← N 67.204033°
W 13.007813°		 ← 118.34 m → N 67.204033°
W 13.005066°		 →
↑
118.37 m
↓
↑
118.37 m
↓
N 67.202968°
W 13.007813°		 ← 118.34 m →
14 008 m²		 N 67.202968°
W 13.005066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463871002197266 y=0.245121002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463871002197266 × 217)
    floor (0.463871002197266 × 131072)
    floor (60800.5)     		tx = 60800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245121002197266 × 217)
    floor (0.245121002197266 × 131072)
    floor (32128.5)     		ty = 32128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60800 / 32128 ti = "17/60800/32128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60800/32128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60800 ÷ 217
    60800 ÷ 131072     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32128 ÷ 217
    32128 ÷ 131072     		y = 0.2451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2451171875 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60147594250684))-π/2
    2×atan(4.96034821300164)-π/2
    2×1.37186398089313-π/2
    2.74372796178627-1.57079632675     		φ = 1.17293164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17293164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.204033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60800 KachelY 32128 -0.22702916 1.17293164 -13.007813 67.204033
    Oben rechts KachelX + 1 60801 KachelY 32128 -0.22698122 1.17293164 -13.005066 67.204033
    Unten links KachelX 60800 KachelY + 1 32129 -0.22702916 1.17291306 -13.007813 67.202968
    Unten rechts KachelX + 1 60801 KachelY + 1 32129 -0.22698122 1.17291306 -13.005066 67.202968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17293164-1.17291306) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dl = 118.373180000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17293164-1.17291306) × R
    1.85800000001013e-05 × 6371000     		dr = 118.373180000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22698122) × cos(1.17293164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387450702311745 × 6371000     		do = 118.337417467075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22698122) × cos(1.17291306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.387467830968939 × 6371000     		du = 118.342648999874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17293164)-sin(1.17291306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450702311745-0.387467830968939)×R²
    abs(-0.22698122--0.22702916)×1.71286571939433e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.71286571939433e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.71286571939433e-05×40589641000000     		ar = 14008.2860555112m²