Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6080 / 6337
↖ ↑ ↗
← S 69.672358°
E 87.187500°		 ← 1 697.51 m → S 69.672358°
E 87.231445°		 →
↑
1 696.92 m
↓
↑
1 696.92 m
↓
S 69.687618°
E 87.187500°		 ← 1 696.29 m →
2 879 495 m²		 S 69.687618°
E 87.231445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74224853515625 y=0.77362060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74224853515625 × 213)
    floor (0.74224853515625 × 8192)
    floor (6080.5)     		tx = 6080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77362060546875 × 213)
    floor (0.77362060546875 × 8192)
    floor (6337.5)     		ty = 6337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6080 / 6337 ti = "13/6080/6337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6080/6337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6080 ÷ 213
    6080 ÷ 8192     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6337 ÷ 213
    6337 ÷ 8192     		y = 0.7735595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7735595703125 × 2 - 1) × π
    -0.547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71882547277673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71882547277673))-π/2
    2×atan(0.179276589537498)-π/2
    2×0.177392142418121-π/2
    0.354784284836241-1.57079632675     		φ = -1.21601204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21601204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.672358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6080 KachelY 6337 1.52170894 -1.21601204 87.187500 -69.672358
    Oben rechts KachelX + 1 6081 KachelY 6337 1.52247593 -1.21601204 87.231445 -69.672358
    Unten links KachelX 6080 KachelY + 1 6338 1.52170894 -1.21627839 87.187500 -69.687618
    Unten rechts KachelX + 1 6081 KachelY + 1 6338 1.52247593 -1.21627839 87.231445 -69.687618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21601204--1.21627839) × R
    0.000266349999999971 × 6371000     		dl = 1696.91584999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21601204--1.21627839) × R
    0.000266349999999971 × 6371000     		dr = 1696.91584999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52247593) × cos(-1.21601204) × R
    0.000766990000000023 × 0.347388094420926 × 6371000     		do = 1697.50959241379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52247593) × cos(-1.21627839) × R
    0.000766990000000023 × 0.347138319994255 × 6371000     		du = 1696.28907135385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21601204)-sin(-1.21627839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347388094420926-0.347138319994255)×R²
    abs(1.52247593-1.52170894)×0.000249774426670457×R²
    0.000766990000000023×0.000249774426670457×6371000²
    0.000766990000000023×0.000249774426670457×40589641000000     		ar = 2879495.38915137m²