Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60799 / 40306
↖ ↑ ↗
← N 56.773798°
W 13.010559°		 ← 167.32 m → N 56.773798°
W 13.007813°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
N 56.772294°
W 13.010559°		 ← 167.33 m →
27 994 m²		 N 56.772294°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463863372802734 y=0.307514190673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463863372802734 × 217)
    floor (0.463863372802734 × 131072)
    floor (60799.5)     		tx = 60799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307514190673828 × 217)
    floor (0.307514190673828 × 131072)
    floor (40306.5)     		ty = 40306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60799 / 40306 ti = "17/60799/40306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60799/40306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60799 ÷ 217
    60799 ÷ 131072     		x = 0.463859558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40306 ÷ 217
    40306 ÷ 131072     		y = 0.307510375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463859558105469 × 2 - 1) × π
    -0.0722808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22707709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307510375976562 × 2 - 1) × π
    0.384979248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20944797741402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22707709} λ = -0.22707709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20944797741402))-π/2
    2×atan(3.35163396413697)-π/2
    2×1.28084301956635-π/2
    2.56168603913271-1.57079632675     		φ = 0.99088971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22707709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.010559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99088971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.773798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60799 KachelY 40306 -0.22707709 0.99088971 -13.010559 56.773798
    Oben rechts KachelX + 1 60800 KachelY 40306 -0.22702916 0.99088971 -13.007813 56.773798
    Unten links KachelX 60799 KachelY + 1 40307 -0.22707709 0.99086345 -13.010559 56.772294
    Unten rechts KachelX + 1 60800 KachelY + 1 40307 -0.22702916 0.99086345 -13.007813 56.772294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99088971-0.99086345) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99088971-0.99086345) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22707709--0.22702916) × cos(0.99088971) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547945822839288 × 6371000     		do = 167.321848792231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22707709--0.22702916) × cos(0.99086345) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.547967789503336 × 6371000     		du = 167.328556577357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99088971)-sin(0.99086345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547945822839288-0.547967789503336)×R²
    abs(-0.22702916--0.22707709)×2.19666640480787e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.19666640480787e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.19666640480787e-05×40589641000000     		ar = 27993.9180308937m²