Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60799 / 32383
↖ ↑ ↗
← N 66.931136°
W 13.010559°		 ← 119.65 m → N 66.931136°
W 13.007813°		 →
↑
119.65 m
↓
↑
119.65 m
↓
N 66.930060°
W 13.010559°		 ← 119.66 m →
14 316 m²		 N 66.930060°
W 13.007813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463863372802734 y=0.247066497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463863372802734 × 217)
    floor (0.463863372802734 × 131072)
    floor (60799.5)     		tx = 60799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247066497802734 × 217)
    floor (0.247066497802734 × 131072)
    floor (32383.5)     		ty = 32383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60799 / 32383 ti = "17/60799/32383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60799/32383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60799 ÷ 217
    60799 ÷ 131072     		x = 0.463859558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32383 ÷ 217
    32383 ÷ 131072     		y = 0.247062683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463859558105469 × 2 - 1) × π
    -0.0722808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22707709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247062683105469 × 2 - 1) × π
    0.505874633789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.58925203310372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22707709} λ = -0.22707709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58925203310372))-π/2
    2×atan(4.90008245783079)-π/2
    2×1.36948251536143-π/2
    2.73896503072285-1.57079632675     		φ = 1.16816870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22707709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.010559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16816870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.931136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60799 KachelY 32383 -0.22707709 1.16816870 -13.010559 66.931136
    Oben rechts KachelX + 1 60800 KachelY 32383 -0.22702916 1.16816870 -13.007813 66.931136
    Unten links KachelX 60799 KachelY + 1 32384 -0.22707709 1.16814992 -13.010559 66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 60800 KachelY + 1 32384 -0.22702916 1.16814992 -13.007813 66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16816870-1.16814992) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dl = 119.647379999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16816870-1.16814992) × R
    1.8779999999996e-05 × 6371000     		dr = 119.647379999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22707709--0.22702916) × cos(1.16816870) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.391837199717585 × 6371000     		do = 119.652202735281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22707709--0.22702916) × cos(1.16814992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 119.657478835436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16816870)-sin(1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391837199717585-0.3918544778977)×R²
    abs(-0.22702916--0.22707709)×1.72781801143773e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.72781801143773e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72781801143773e-05×40589641000000     		ar = 14316.3882047286m²