Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60798 / 27006
↖ ↑ ↗
← N 72.075602°
W 13.013306°		 ← 94 m → N 72.075602°
W 13.010559°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.074757°
W 13.013306°		 ← 94 m →
8 839 m²		 N 72.074757°
W 13.010559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463855743408203 y=0.206043243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463855743408203 × 217)
    floor (0.463855743408203 × 131072)
    floor (60798.5)     		tx = 60798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206043243408203 × 217)
    floor (0.206043243408203 × 131072)
    floor (27006.5)     		ty = 27006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60798 / 27006 ti = "17/60798/27006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60798/27006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60798 ÷ 217
    60798 ÷ 131072     		x = 0.463851928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27006 ÷ 217
    27006 ÷ 131072     		y = 0.206039428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463851928710938 × 2 - 1) × π
    -0.072296142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22712503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206039428710938 × 2 - 1) × π
    0.587921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84700874236076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22712503} λ = -0.22712503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84700874236076))-π/2
    2×atan(6.34082408815355)-π/2
    2×1.41437644733884-π/2
    2.82875289467767-1.57079632675     		φ = 1.25795657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22712503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.013306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25795657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.075602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60798 KachelY 27006 -0.22712503 1.25795657 -13.013306 72.075602
    Oben rechts KachelX + 1 60799 KachelY 27006 -0.22707709 1.25795657 -13.010559 72.075602
    Unten links KachelX 60798 KachelY + 1 27007 -0.22712503 1.25794181 -13.013306 72.074757
    Unten rechts KachelX + 1 60799 KachelY + 1 27007 -0.22707709 1.25794181 -13.010559 72.074757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25795657-1.25794181) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25795657-1.25794181) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22712503--0.22707709) × cos(1.25795657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.307761798505783 × 6371000     		do = 93.9983750523524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22712503--0.22707709) × cos(1.25794181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.307775842072615 × 6371000     		du = 94.0026643191444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25795657)-sin(1.25794181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307761798505783-0.307775842072615)×R²
    abs(-0.22707709--0.22712503)×1.40435668321004e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.40435668321004e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.40435668321004e-05×40589641000000     		ar = 8839.42910940255m²