Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60797 / 56331
↖ ↑ ↗
← N 24.499646°
W 13.016052°		 ← 277.93 m → N 24.499646°
W 13.013306°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.497146°
W 13.016052°		 ← 277.93 m →
77 237 m²		 N 24.497146°
W 13.013306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463848114013672 y=0.429775238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463848114013672 × 217)
    floor (0.463848114013672 × 131072)
    floor (60797.5)     		tx = 60797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429775238037109 × 217)
    floor (0.429775238037109 × 131072)
    floor (56331.5)     		ty = 56331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60797 / 56331 ti = "17/60797/56331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60797/56331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60797 ÷ 217
    60797 ÷ 131072     		x = 0.463844299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56331 ÷ 217
    56331 ÷ 131072     		y = 0.429771423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463844299316406 × 2 - 1) × π
    -0.0723114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22717297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429771423339844 × 2 - 1) × π
    0.140457153320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.441259161002617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22717297} λ = -0.22717297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441259161002617))-π/2
    2×atan(1.55466355830428)-π/2
    2×0.999197904349409-π/2
    1.99839580869882-1.57079632675     		φ = 0.42759948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22717297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.016052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42759948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.499646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60797 KachelY 56331 -0.22717297 0.42759948 -13.016052 24.499646
    Oben rechts KachelX + 1 60798 KachelY 56331 -0.22712503 0.42759948 -13.013306 24.499646
    Unten links KachelX 60797 KachelY + 1 56332 -0.22717297 0.42755586 -13.016052 24.497146
    Unten rechts KachelX + 1 60798 KachelY + 1 56332 -0.22712503 0.42755586 -13.013306 24.497146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42759948-0.42755586) × R
    4.36199999999665e-05 × 6371000     		dl = 277.903019999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42759948-0.42755586) × R
    4.36199999999665e-05 × 6371000     		dr = 277.903019999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22717297--0.22712503) × cos(0.42759948) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.909963836457824 × 6371000     		do = 277.926378123349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22717297--0.22712503) × cos(0.42755586) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9099819242658 × 6371000     		du = 277.931902605485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42759948)-sin(0.42755586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909963836457824-0.9099819242658)×R²
    abs(-0.22712503--0.22717297)×1.80878079752977e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80878079752977e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80878079752977e-05×40589641000000     		ar = 77237.3474654683m²