Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60797 / 26455
↖ ↑ ↗
← N 72.535550°
W 13.016052°		 ← 91.66 m → N 72.535550°
W 13.013306°		 →
↑
91.68 m
↓
↑
91.68 m
↓
N 72.534725°
W 13.016052°		 ← 91.67 m →
8 404 m²		 N 72.534725°
W 13.013306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463848114013672 y=0.201839447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463848114013672 × 217)
    floor (0.463848114013672 × 131072)
    floor (60797.5)     		tx = 60797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201839447021484 × 217)
    floor (0.201839447021484 × 131072)
    floor (26455.5)     		ty = 26455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60797 / 26455 ti = "17/60797/26455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60797/26455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60797 ÷ 217
    60797 ÷ 131072     		x = 0.463844299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26455 ÷ 217
    26455 ÷ 131072     		y = 0.201835632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463844299316406 × 2 - 1) × π
    -0.0723114013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22717297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201835632324219 × 2 - 1) × π
    0.596328735351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.87342197405141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22717297} λ = -0.22717297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87342197405141))-π/2
    2×atan(6.51053721324393)-π/2
    2×1.41839024816612-π/2
    2.83678049633225-1.57079632675     		φ = 1.26598417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22717297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.016052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26598417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.535550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60797 KachelY 26455 -0.22717297 1.26598417 -13.016052 72.535550
    Oben rechts KachelX + 1 60798 KachelY 26455 -0.22712503 1.26598417 -13.013306 72.535550
    Unten links KachelX 60797 KachelY + 1 26456 -0.22717297 1.26596978 -13.016052 72.534725
    Unten rechts KachelX + 1 60798 KachelY + 1 26456 -0.22712503 1.26596978 -13.013306 72.534725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26598417-1.26596978) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dl = 91.678690000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26598417-1.26596978) × R
    1.43900000000308e-05 × 6371000     		dr = 91.678690000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22717297--0.22712503) × cos(1.26598417) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300113996243634 × 6371000     		do = 91.6625393870621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22717297--0.22712503) × cos(1.26596978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.300127722881678 × 6371000     		du = 91.6667318556443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26598417)-sin(1.26596978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300113996243634-0.300127722881678)×R²
    abs(-0.22712503--0.22717297)×1.37266380438317e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.37266380438317e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.37266380438317e-05×40589641000000     		ar = 8403.69371322308m²