Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60795 / 83543
↖ ↑ ↗
← S 44.258970°
W 13.021545°		 ← 218.74 m → S 44.258970°
W 13.018799°		 →
↑
218.72 m
↓
↑
218.72 m
↓
S 44.260937°
W 13.021545°		 ← 218.74 m →
47 842 m²		 S 44.260937°
W 13.018799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463832855224609 y=0.637386322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463832855224609 × 217)
    floor (0.463832855224609 × 131072)
    floor (60795.5)     		tx = 60795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637386322021484 × 217)
    floor (0.637386322021484 × 131072)
    floor (83543.5)     		ty = 83543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60795 / 83543 ti = "17/60795/83543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60795/83543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60795 ÷ 217
    60795 ÷ 131072     		x = 0.463829040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83543 ÷ 217
    83543 ÷ 131072     		y = 0.637382507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463829040527344 × 2 - 1) × π
    -0.0723419189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22726884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637382507324219 × 2 - 1) × π
    -0.274765014648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.863199751458351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22726884} λ = -0.22726884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.863199751458351))-π/2
    2×atan(0.42181023277241)-π/2
    2×0.399165786628618-π/2
    0.798331573257236-1.57079632675     		φ = -0.77246475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22726884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.021545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77246475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.258970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60795 KachelY 83543 -0.22726884 -0.77246475 -13.021545 -44.258970
    Oben rechts KachelX + 1 60796 KachelY 83543 -0.22722090 -0.77246475 -13.018799 -44.258970
    Unten links KachelX 60795 KachelY + 1 83544 -0.22726884 -0.77249908 -13.021545 -44.260937
    Unten rechts KachelX + 1 60796 KachelY + 1 83544 -0.22722090 -0.77249908 -13.018799 -44.260937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77246475--0.77249908) × R
    3.43299999999713e-05 × 6371000     		dl = 218.716429999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77246475--0.77249908) × R
    3.43299999999713e-05 × 6371000     		dr = 218.716429999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22726884--0.22722090) × cos(-0.77246475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716192691368896 × 6371000     		do = 218.74368274392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22726884--0.22722090) × cos(-0.77249908) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.71616873195086 × 6371000     		du = 218.736364920936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77246475)-sin(-0.77249908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716192691368896-0.71616873195086)×R²
    abs(-0.22722090--0.22726884)×2.39594180351244e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39594180351244e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39594180351244e-05×40589641000000     		ar = 47842.037115315m²