Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60794 / 40314
↖ ↑ ↗
← N 56.761756°
W 13.024292°		 ← 167.41 m → N 56.761756°
W 13.021545°		 →
↑
167.37 m
↓
↑
167.37 m
↓
N 56.760251°
W 13.024292°		 ← 167.42 m →
28 019 m²		 N 56.760251°
W 13.021545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463825225830078 y=0.307575225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463825225830078 × 217)
    floor (0.463825225830078 × 131072)
    floor (60794.5)     		tx = 60794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307575225830078 × 217)
    floor (0.307575225830078 × 131072)
    floor (40314.5)     		ty = 40314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60794 / 40314 ti = "17/60794/40314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60794/40314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60794 ÷ 217
    60794 ÷ 131072     		x = 0.463821411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40314 ÷ 217
    40314 ÷ 131072     		y = 0.307571411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463821411132812 × 2 - 1) × π
    -0.072357177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22731678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307571411132812 × 2 - 1) × π
    0.384857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20906448221706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22731678} λ = -0.22731678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20906448221706))-π/2
    2×atan(3.35034887503825)-π/2
    2×1.28073793541733-π/2
    2.56147587083466-1.57079632675     		φ = 0.99067954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22731678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.024292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99067954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.761756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60794 KachelY 40314 -0.22731678 0.99067954 -13.024292 56.761756
    Oben rechts KachelX + 1 60795 KachelY 40314 -0.22726884 0.99067954 -13.021545 56.761756
    Unten links KachelX 60794 KachelY + 1 40315 -0.22731678 0.99065327 -13.024292 56.760251
    Unten rechts KachelX + 1 60795 KachelY + 1 40315 -0.22726884 0.99065327 -13.021545 56.760251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99067954-0.99065327) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dl = 167.366169999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99067954-0.99065327) × R
    2.62699999999949e-05 × 6371000     		dr = 167.366169999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22731678--0.22726884) × cos(0.99067954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548121620846294 × 6371000     		do = 167.410451656966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22731678--0.22726884) × cos(0.99065327) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.548143592849491 × 6371000     		du = 167.417162472301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99067954)-sin(0.99065327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548121620846294-0.548143592849491)×R²
    abs(-0.22726884--0.22731678)×2.19720031965354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19720031965354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19720031965354e-05×40589641000000     		ar = 28019.4076951422m²