Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60792 / 83320
↖ ↑ ↗
← S 43.818675°
W 13.029785°		 ← 220.38 m → S 43.818675°
W 13.027038°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 43.820657°
W 13.029785°		 ← 220.37 m →
48 564 m²		 S 43.820657°
W 13.027038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463809967041016 y=0.635684967041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463809967041016 × 217)
    floor (0.463809967041016 × 131072)
    floor (60792.5)     		tx = 60792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635684967041016 × 217)
    floor (0.635684967041016 × 131072)
    floor (83320.5)     		ty = 83320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60792 / 83320 ti = "17/60792/83320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60792/83320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60792 ÷ 217
    60792 ÷ 131072     		x = 0.46380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83320 ÷ 217
    83320 ÷ 131072     		y = 0.63568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.0723876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22741265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63568115234375 × 2 - 1) × π
    -0.2713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.852509822843079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22741265} λ = -0.22741265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852509822843079))-π/2
    2×atan(0.426343541251881)-π/2
    2×0.403008088361984-π/2
    0.806016176723969-1.57079632675     		φ = -0.76478015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22741265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.029785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76478015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.818675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60792 KachelY 83320 -0.22741265 -0.76478015 -13.029785 -43.818675
    Oben rechts KachelX + 1 60793 KachelY 83320 -0.22736471 -0.76478015 -13.027038 -43.818675
    Unten links KachelX 60792 KachelY + 1 83321 -0.22741265 -0.76481474 -13.029785 -43.820657
    Unten rechts KachelX + 1 60793 KachelY + 1 83321 -0.22736471 -0.76481474 -13.027038 -43.820657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76478015--0.76481474) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dl = 220.37289000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76478015--0.76481474) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dr = 220.37289000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22741265--0.22736471) × cos(-0.76478015) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721534594260858 × 6371000     		do = 220.375237387706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22741265--0.22736471) × cos(-0.76481474) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721510644460848 × 6371000     		du = 220.367922502314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76478015)-sin(-0.76481474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721534594260858-0.721510644460848)×R²
    abs(-0.22736471--0.22741265)×2.39498000106364e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39498000106364e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39498000106364e-05×40589641000000     		ar = 48563.9219511533m²