Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60791 / 40304
↖ ↑ ↗
← N 56.776808°
W 13.032532°		 ← 167.34 m → N 56.776808°
W 13.029785°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
N 56.775304°
W 13.032532°		 ← 167.35 m →
27 998 m²		 N 56.775304°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463802337646484 y=0.307498931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463802337646484 × 217)
    floor (0.463802337646484 × 131072)
    floor (60791.5)     		tx = 60791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307498931884766 × 217)
    floor (0.307498931884766 × 131072)
    floor (40304.5)     		ty = 40304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60791 / 40304 ti = "17/60791/40304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60791/40304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60791 ÷ 217
    60791 ÷ 131072     		x = 0.463798522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40304 ÷ 217
    40304 ÷ 131072     		y = 0.3074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463798522949219 × 2 - 1) × π
    -0.0724029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22746059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3074951171875 × 2 - 1) × π
    0.385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20954385121326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22746059} λ = -0.22746059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20954385121326))-π/2
    2×atan(3.35195531342301)-π/2
    2×1.28086928533689-π/2
    2.56173857067377-1.57079632675     		φ = 0.99094224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22746059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.032532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99094224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.776808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60791 KachelY 40304 -0.22746059 0.99094224 -13.032532 56.776808
    Oben rechts KachelX + 1 60792 KachelY 40304 -0.22741265 0.99094224 -13.029785 56.776808
    Unten links KachelX 60791 KachelY + 1 40305 -0.22746059 0.99091598 -13.032532 56.775304
    Unten rechts KachelX + 1 60792 KachelY + 1 40305 -0.22741265 0.99091598 -13.029785 56.775304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99094224-0.99091598) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dl = 167.302459999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99094224-0.99091598) × R
    2.62599999999447e-05 × 6371000     		dr = 167.302459999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22746059--0.22741265) × cos(0.99094224) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547901880012212 × 6371000     		do = 167.343337150108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22746059--0.22741265) × cos(0.99091598) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547923847432102 × 6371000     		du = 167.350046565584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99094224)-sin(0.99091598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547901880012212-0.547923847432102)×R²
    abs(-0.22741265--0.22746059)×2.19674198899122e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19674198899122e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19674198899122e-05×40589641000000     		ar = 27997.5132221628m²