Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60791 / 33913
↖ ↑ ↗
← N 65.227951°
W 13.032532°		 ← 127.98 m → N 65.227951°
W 13.029785°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.226800°
W 13.032532°		 ← 127.98 m →
16 380 m²		 N 65.226800°
W 13.029785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463802337646484 y=0.258739471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463802337646484 × 217)
    floor (0.463802337646484 × 131072)
    floor (60791.5)     		tx = 60791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258739471435547 × 217)
    floor (0.258739471435547 × 131072)
    floor (33913.5)     		ty = 33913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60791 / 33913 ti = "17/60791/33913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60791/33913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60791 ÷ 217
    60791 ÷ 131072     		x = 0.463798522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33913 ÷ 217
    33913 ÷ 131072     		y = 0.258735656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463798522949219 × 2 - 1) × π
    -0.0724029541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22746059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258735656738281 × 2 - 1) × π
    0.482528686523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.51590857668504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22746059} λ = -0.22746059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51590857668504))-π/2
    2×atan(4.55355650318068)-π/2
    2×1.3546194185966-π/2
    2.70923883719321-1.57079632675     		φ = 1.13844251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22746059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.032532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13844251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.227951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60791 KachelY 33913 -0.22746059 1.13844251 -13.032532 65.227951
    Oben rechts KachelX + 1 60792 KachelY 33913 -0.22741265 1.13844251 -13.029785 65.227951
    Unten links KachelX 60791 KachelY + 1 33914 -0.22746059 1.13842242 -13.032532 65.226800
    Unten rechts KachelX + 1 60792 KachelY + 1 33914 -0.22741265 1.13842242 -13.029785 65.226800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13844251-1.13842242) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13844251-1.13842242) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22746059--0.22741265) × cos(1.13844251) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419009184474997 × 6371000     		do = 127.976190235063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22746059--0.22741265) × cos(1.13842242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419027425748718 × 6371000     		du = 127.981761589588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13844251)-sin(1.13842242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419009184474997-0.419027425748718)×R²
    abs(-0.22741265--0.22746059)×1.82412737215198e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82412737215198e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82412737215198e-05×40589641000000     		ar = 16380.4629763032m²