Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60790 / 83317
↖ ↑ ↗
← S 43.812729°
W 13.035279°		 ← 220.40 m → S 43.812729°
W 13.032532°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 43.814711°
W 13.035279°		 ← 220.39 m →
48 569 m²		 S 43.814711°
W 13.032532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463794708251953 y=0.635662078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463794708251953 × 217)
    floor (0.463794708251953 × 131072)
    floor (60790.5)     		tx = 60790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635662078857422 × 217)
    floor (0.635662078857422 × 131072)
    floor (83317.5)     		ty = 83317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60790 / 83317 ti = "17/60790/83317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60790/83317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60790 ÷ 217
    60790 ÷ 131072     		x = 0.463790893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83317 ÷ 217
    83317 ÷ 131072     		y = 0.635658264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463790893554688 × 2 - 1) × π
    -0.072418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22750853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635658264160156 × 2 - 1) × π
    -0.271316528320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.852366012144218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22750853} λ = -0.22750853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852366012144218))-π/2
    2×atan(0.42640485842343)-π/2
    2×0.403059973142092-π/2
    0.806119946284184-1.57079632675     		φ = -0.76467638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22750853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.035279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76467638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.812729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60790 KachelY 83317 -0.22750853 -0.76467638 -13.035279 -43.812729
    Oben rechts KachelX + 1 60791 KachelY 83317 -0.22746059 -0.76467638 -13.032532 -43.812729
    Unten links KachelX 60790 KachelY + 1 83318 -0.22750853 -0.76471097 -13.035279 -43.814711
    Unten rechts KachelX + 1 60791 KachelY + 1 83318 -0.22746059 -0.76471097 -13.032532 -43.814711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76467638--0.76471097) × R
    3.45899999999455e-05 × 6371000     		dl = 220.372889999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76467638--0.76471097) × R
    3.45899999999455e-05 × 6371000     		dr = 220.372889999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22750853--0.22746059) × cos(-0.76467638) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721606438481017 × 6371000     		do = 220.397180461812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22750853--0.22746059) × cos(-0.76471097) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.721582491270972 × 6371000     		du = 220.389866367463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76467638)-sin(-0.76471097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721606438481017-0.721582491270972)×R²
    abs(-0.22746059--0.22750853)×2.39472100452831e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39472100452831e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39472100452831e-05×40589641000000     		ar = 48568.7576968749m²