Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60790 / 40700
↖ ↑ ↗
← N 56.176139°
W 13.035279°		 ← 170.01 m → N 56.176139°
W 13.032532°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
N 56.174610°
W 13.035279°		 ← 170.02 m →
28 910 m²		 N 56.174610°
W 13.032532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463794708251953 y=0.310520172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463794708251953 × 217)
    floor (0.463794708251953 × 131072)
    floor (60790.5)     		tx = 60790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310520172119141 × 217)
    floor (0.310520172119141 × 131072)
    floor (40700.5)     		ty = 40700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60790 / 40700 ti = "17/60790/40700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60790/40700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60790 ÷ 217
    60790 ÷ 131072     		x = 0.463790893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40700 ÷ 217
    40700 ÷ 131072     		y = 0.310516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463790893554688 × 2 - 1) × π
    -0.072418212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22750853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310516357421875 × 2 - 1) × π
    0.37896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19056083896371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22750853} λ = -0.22750853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19056083896371))-π/2
    2×atan(3.2889252476576)-π/2
    2×1.27562745597351-π/2
    2.55125491194702-1.57079632675     		φ = 0.98045859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22750853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.035279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98045859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.176139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60790 KachelY 40700 -0.22750853 0.98045859 -13.035279 56.176139
    Oben rechts KachelX + 1 60791 KachelY 40700 -0.22746059 0.98045859 -13.032532 56.176139
    Unten links KachelX 60790 KachelY + 1 40701 -0.22750853 0.98043190 -13.035279 56.174610
    Unten rechts KachelX + 1 60791 KachelY + 1 40701 -0.22746059 0.98043190 -13.032532 56.174610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98045859-0.98043190) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98045859-0.98043190) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22750853--0.22746059) × cos(0.98045859) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556641630418179 × 6371000     		do = 170.012681885266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22750853--0.22746059) × cos(0.98043190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.556663803010227 × 6371000     		du = 170.0194539656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98045859)-sin(0.98043190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556641630418179-0.556663803010227)×R²
    abs(-0.22746059--0.22750853)×2.21725920473981e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21725920473981e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21725920473981e-05×40589641000000     		ar = 28909.8705235657m²