Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60789 / 83316
↖ ↑ ↗
← S 43.810747°
W 13.038025°		 ← 220.36 m → S 43.810747°
W 13.035279°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 43.812729°
W 13.038025°		 ← 220.35 m →
48 560 m²		 S 43.812729°
W 13.035279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463787078857422 y=0.635654449462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463787078857422 × 217)
    floor (0.463787078857422 × 131072)
    floor (60789.5)     		tx = 60789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635654449462891 × 217)
    floor (0.635654449462891 × 131072)
    floor (83316.5)     		ty = 83316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60789 / 83316 ti = "17/60789/83316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60789/83316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60789 ÷ 217
    60789 ÷ 131072     		x = 0.463783264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83316 ÷ 217
    83316 ÷ 131072     		y = 0.635650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463783264160156 × 2 - 1) × π
    -0.0724334716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22755646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.27130126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.852318075244598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22755646} λ = -0.22755646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.852318075244598))-π/2
    2×atan(0.426425299440261)-π/2
    2×0.403077269216783-π/2
    0.806154538433566-1.57079632675     		φ = -0.76464179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22755646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.038025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76464179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.810747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60789 KachelY 83316 -0.22755646 -0.76464179 -13.038025 -43.810747
    Oben rechts KachelX + 1 60790 KachelY 83316 -0.22750853 -0.76464179 -13.035279 -43.810747
    Unten links KachelX 60789 KachelY + 1 83317 -0.22755646 -0.76467638 -13.038025 -43.812729
    Unten rechts KachelX + 1 60790 KachelY + 1 83317 -0.22750853 -0.76467638 -13.035279 -43.812729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76464179--0.76467638) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dl = 220.37289000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76464179--0.76467638) × R
    3.45900000000565e-05 × 6371000     		dr = 220.37289000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22755646--0.22750853) × cos(-0.76464179) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721630384827683 × 6371000     		do = 220.35851922067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22755646--0.22750853) × cos(-0.76467638) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721606438481017 × 6371000     		du = 220.351206915641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76464179)-sin(-0.76467638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721630384827683-0.721606438481017)×R²
    abs(-0.22750853--0.22755646)×2.39463466662482e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39463466662482e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39463466662482e-05×40589641000000     		ar = 48560.2380048396m²