Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60788 / 83576
↖ ↑ ↗
← S 44.323848°
W 13.040772°		 ← 218.50 m → S 44.323848°
W 13.038025°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
S 44.325813°
W 13.040772°		 ← 218.49 m →
47 734 m²		 S 44.325813°
W 13.038025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463779449462891 y=0.637638092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463779449462891 × 217)
    floor (0.463779449462891 × 131072)
    floor (60788.5)     		tx = 60788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637638092041016 × 217)
    floor (0.637638092041016 × 131072)
    floor (83576.5)     		ty = 83576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60788 / 83576 ti = "17/60788/83576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60788/83576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60788 ÷ 217
    60788 ÷ 131072     		x = 0.463775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83576 ÷ 217
    83576 ÷ 131072     		y = 0.63763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.07244873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22760440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.2752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.864781669145813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22760440} λ = -0.22760440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864781669145813))-π/2
    2×atan(0.421143491208612)-π/2
    2×0.398599620396796-π/2
    0.797199240793592-1.57079632675     		φ = -0.77359709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22760440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.040772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77359709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.323848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60788 KachelY 83576 -0.22760440 -0.77359709 -13.040772 -44.323848
    Oben rechts KachelX + 1 60789 KachelY 83576 -0.22755646 -0.77359709 -13.038025 -44.323848
    Unten links KachelX 60788 KachelY + 1 83577 -0.22760440 -0.77363138 -13.040772 -44.325813
    Unten rechts KachelX + 1 60789 KachelY + 1 83577 -0.22755646 -0.77363138 -13.038025 -44.325813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77359709--0.77363138) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dl = 218.461589999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77359709--0.77363138) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dr = 218.461589999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22760440--0.22755646) × cos(-0.77359709) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.715401969367119 × 6371000     		do = 218.502175891519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22760440--0.22755646) × cos(-0.77363138) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.715378010073697 × 6371000     		du = 218.494858106596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77359709)-sin(-0.77363138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715401969367119-0.715378010073697)×R²
    abs(-0.22755646--0.22760440)×2.39592934213606e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39592934213606e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39592934213606e-05×40589641000000     		ar = 47733.5334410835m²