Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60787 / 83565
↖ ↑ ↗
← S 44.302230°
W 13.043518°		 ← 218.58 m → S 44.302230°
W 13.040772°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 44.304196°
W 13.043518°		 ← 218.58 m →
47 779 m²		 S 44.304196°
W 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463771820068359 y=0.637554168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463771820068359 × 217)
    floor (0.463771820068359 × 131072)
    floor (60787.5)     		tx = 60787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637554168701172 × 217)
    floor (0.637554168701172 × 131072)
    floor (83565.5)     		ty = 83565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60787 / 83565 ti = "17/60787/83565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60787/83565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60787 ÷ 217
    60787 ÷ 131072     		x = 0.463768005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83565 ÷ 217
    83565 ÷ 131072     		y = 0.637550354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463768005371094 × 2 - 1) × π
    -0.0724639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22765234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637550354003906 × 2 - 1) × π
    -0.275100708007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.864254363249992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22765234} λ = -0.22765234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864254363249992))-π/2
    2×atan(0.421365621214597)-π/2
    2×0.398788272982247-π/2
    0.797576545964495-1.57079632675     		φ = -0.77321978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22765234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.043518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77321978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.302230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60787 KachelY 83565 -0.22765234 -0.77321978 -13.043518 -44.302230
    Oben rechts KachelX + 1 60788 KachelY 83565 -0.22760440 -0.77321978 -13.040772 -44.302230
    Unten links KachelX 60787 KachelY + 1 83566 -0.22765234 -0.77325409 -13.043518 -44.304196
    Unten rechts KachelX + 1 60788 KachelY + 1 83566 -0.22760440 -0.77325409 -13.040772 -44.304196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77321978--0.77325409) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77321978--0.77325409) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22765234--0.22760440) × cos(-0.77321978) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715665549884349 × 6371000     		do = 218.582680165917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22765234--0.22760440) × cos(-0.77325409) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.715641585878966 × 6371000     		du = 218.57536094184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77321978)-sin(-0.77325409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715665549884349-0.715641585878966)×R²
    abs(-0.22760440--0.22765234)×2.39640053828483e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39640053828483e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39640053828483e-05×40589641000000     		ar = 47778.9717143487m²