Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60787 / 40759
↖ ↑ ↗
← N 56.085830°
W 13.043518°		 ← 170.41 m → N 56.085830°
W 13.040772°		 →
↑
170.42 m
↓
↑
170.42 m
↓
N 56.084297°
W 13.043518°		 ← 170.42 m →
29 043 m²		 N 56.084297°
W 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463771820068359 y=0.310970306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463771820068359 × 217)
    floor (0.463771820068359 × 131072)
    floor (60787.5)     		tx = 60787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310970306396484 × 217)
    floor (0.310970306396484 × 131072)
    floor (40759.5)     		ty = 40759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60787 / 40759 ti = "17/60787/40759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60787/40759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60787 ÷ 217
    60787 ÷ 131072     		x = 0.463768005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40759 ÷ 217
    40759 ÷ 131072     		y = 0.310966491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463768005371094 × 2 - 1) × π
    -0.0724639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22765234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310966491699219 × 2 - 1) × π
    0.378067016601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.18773256188613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22765234} λ = -0.22765234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18773256188613))-π/2
    2×atan(3.2796363976824)-π/2
    2×1.27483936242238-π/2
    2.54967872484477-1.57079632675     		φ = 0.97888240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22765234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.043518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97888240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.085830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60787 KachelY 40759 -0.22765234 0.97888240 -13.043518 56.085830
    Oben rechts KachelX + 1 60788 KachelY 40759 -0.22760440 0.97888240 -13.040772 56.085830
    Unten links KachelX 60787 KachelY + 1 40760 -0.22765234 0.97885565 -13.043518 56.084297
    Unten rechts KachelX + 1 60788 KachelY + 1 40760 -0.22760440 0.97885565 -13.040772 56.084297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97888240-0.97885565) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dl = 170.42425000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97888240-0.97885565) × R
    2.67500000000753e-05 × 6371000     		dr = 170.42425000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22765234--0.22760440) × cos(0.97888240) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557950362565429 × 6371000     		do = 170.412402369801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22765234--0.22760440) × cos(0.97885565) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557972561503958 × 6371000     		du = 170.419182497029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97888240)-sin(0.97885565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557950362565429-0.557972561503958)×R²
    abs(-0.22760440--0.22765234)×2.2198938528617e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2198938528617e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2198938528617e-05×40589641000000     		ar = 29042.9836153271m²