Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60787 / 32564
↖ ↑ ↗
← N 66.735563°
W 13.043518°		 ← 120.64 m → N 66.735563°
W 13.040772°		 →
↑
120.67 m
↓
↑
120.67 m
↓
N 66.734478°
W 13.043518°		 ← 120.64 m →
14 557 m²		 N 66.734478°
W 13.040772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463771820068359 y=0.248447418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463771820068359 × 217)
    floor (0.463771820068359 × 131072)
    floor (60787.5)     		tx = 60787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248447418212891 × 217)
    floor (0.248447418212891 × 131072)
    floor (32564.5)     		ty = 32564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60787 / 32564 ti = "17/60787/32564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60787/32564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60787 ÷ 217
    60787 ÷ 131072     		x = 0.463768005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32564 ÷ 217
    32564 ÷ 131072     		y = 0.248443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463768005371094 × 2 - 1) × π
    -0.0724639892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22765234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248443603515625 × 2 - 1) × π
    0.50311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58057545427249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22765234} λ = -0.22765234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58057545427249))-π/2
    2×atan(4.85775042030951)-π/2
    2×1.36777581246518-π/2
    2.73555162493036-1.57079632675     		φ = 1.16475530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22765234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.043518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16475530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.735563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60787 KachelY 32564 -0.22765234 1.16475530 -13.043518 66.735563
    Oben rechts KachelX + 1 60788 KachelY 32564 -0.22760440 1.16475530 -13.040772 66.735563
    Unten links KachelX 60787 KachelY + 1 32565 -0.22765234 1.16473636 -13.043518 66.734478
    Unten rechts KachelX + 1 60788 KachelY + 1 32565 -0.22760440 1.16473636 -13.040772 66.734478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16475530-1.16473636) × R
    1.89399999999118e-05 × 6371000     		dl = 120.666739999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16475530-1.16473636) × R
    1.89399999999118e-05 × 6371000     		dr = 120.666739999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22765234--0.22760440) × cos(1.16475530) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394975356914369 × 6371000     		do = 120.635640667326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22765234--0.22760440) × cos(1.16473636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.394992756864608 × 6371000     		du = 120.640955060004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16475530)-sin(1.16473636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394975356914369-0.394992756864608)×R²
    abs(-0.22760440--0.22765234)×1.73999502397493e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.73999502397493e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.73999502397493e-05×40589641000000     		ar = 14557.0301227957m²