Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60786 / 83579
↖ ↑ ↗
← S 44.329742°
W 13.046264°		 ← 218.43 m → S 44.329742°
W 13.043518°		 →
↑
218.46 m
↓
↑
218.46 m
↓
S 44.331707°
W 13.046264°		 ← 218.43 m →
47 719 m²		 S 44.331707°
W 13.043518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463764190673828 y=0.637660980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463764190673828 × 217)
    floor (0.463764190673828 × 131072)
    floor (60786.5)     		tx = 60786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637660980224609 × 217)
    floor (0.637660980224609 × 131072)
    floor (83579.5)     		ty = 83579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60786 / 83579 ti = "17/60786/83579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60786/83579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60786 ÷ 217
    60786 ÷ 131072     		x = 0.463760375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83579 ÷ 217
    83579 ÷ 131072     		y = 0.637657165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463760375976562 × 2 - 1) × π
    -0.072479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22770027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637657165527344 × 2 - 1) × π
    -0.275314331054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.864925479844673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22770027} λ = -0.22770027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.864925479844673))-π/2
    2×atan(0.421082930623556)-π/2
    2×0.398548181752479-π/2
    0.797096363504957-1.57079632675     		φ = -0.77369996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22770027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.046264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77369996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.329742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60786 KachelY 83579 -0.22770027 -0.77369996 -13.046264 -44.329742
    Oben rechts KachelX + 1 60787 KachelY 83579 -0.22765234 -0.77369996 -13.043518 -44.329742
    Unten links KachelX 60786 KachelY + 1 83580 -0.22770027 -0.77373425 -13.046264 -44.331707
    Unten rechts KachelX + 1 60787 KachelY + 1 83580 -0.22765234 -0.77373425 -13.043518 -44.331707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77369996--0.77373425) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dl = 218.461589999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77369996--0.77373425) × R
    3.42899999999924e-05 × 6371000     		dr = 218.461589999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22770027--0.22765234) × cos(-0.77369996) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715330088963449 × 6371000     		do = 218.434648085967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22770027--0.22765234) × cos(-0.77373425) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.715306127146679 × 6371000     		du = 218.427331056955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77369996)-sin(-0.77373425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715330088963449-0.715306127146679)×R²
    abs(-0.22765234--0.22770027)×2.39618167700018e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39618167700018e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39618167700018e-05×40589641000000     		ar = 47718.7812918001m²