Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60786 / 32594
↖ ↑ ↗
← N 66.702997°
W 13.046264°		 ← 120.77 m → N 66.702997°
W 13.043518°		 →
↑
120.79 m
↓
↑
120.79 m
↓
N 66.701910°
W 13.046264°		 ← 120.78 m →
14 589 m²		 N 66.701910°
W 13.043518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463764190673828 y=0.248676300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463764190673828 × 217)
    floor (0.463764190673828 × 131072)
    floor (60786.5)     		tx = 60786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248676300048828 × 217)
    floor (0.248676300048828 × 131072)
    floor (32594.5)     		ty = 32594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60786 / 32594 ti = "17/60786/32594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60786/32594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60786 ÷ 217
    60786 ÷ 131072     		x = 0.463760375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32594 ÷ 217
    32594 ÷ 131072     		y = 0.248672485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463760375976562 × 2 - 1) × π
    -0.072479248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.22770027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248672485351562 × 2 - 1) × π
    0.502655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.57913734728389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22770027} λ = -0.22770027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57913734728389))-π/2
    2×atan(4.85076947635646)-π/2
    2×1.36749161637336-π/2
    2.73498323274671-1.57079632675     		φ = 1.16418691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22770027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.046264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16418691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.702997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60786 KachelY 32594 -0.22770027 1.16418691 -13.046264 66.702997
    Oben rechts KachelX + 1 60787 KachelY 32594 -0.22765234 1.16418691 -13.043518 66.702997
    Unten links KachelX 60786 KachelY + 1 32595 -0.22770027 1.16416795 -13.046264 66.701910
    Unten rechts KachelX + 1 60787 KachelY + 1 32595 -0.22765234 1.16416795 -13.043518 66.701910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16418691-1.16416795) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dl = 120.794160000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16418691-1.16416795) × R
    1.89600000000123e-05 × 6371000     		dr = 120.794160000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22770027--0.22765234) × cos(1.16418691) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.395497468268421 × 6371000     		do = 120.76990977031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22770027--0.22765234) × cos(1.16416795) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.395514882332918 × 6371000     		du = 120.775227364395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16418691)-sin(1.16416795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395497468268421-0.395514882332918)×R²
    abs(-0.22765234--0.22770027)×1.74140644963461e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.74140644963461e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.74140644963461e-05×40589641000000     		ar = 14588.6209714029m²