Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60785 / 83538
↖ ↑ ↗
← S 44.249134°
W 13.049011°		 ← 218.78 m → S 44.249134°
W 13.046264°		 →
↑
218.78 m
↓
↑
218.78 m
↓
S 44.251102°
W 13.049011°		 ← 218.77 m →
47 864 m²		 S 44.251102°
W 13.046264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463756561279297 y=0.637348175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463756561279297 × 217)
    floor (0.463756561279297 × 131072)
    floor (60785.5)     		tx = 60785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637348175048828 × 217)
    floor (0.637348175048828 × 131072)
    floor (83538.5)     		ty = 83538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60785 / 83538 ti = "17/60785/83538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60785/83538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60785 ÷ 217
    60785 ÷ 131072     		x = 0.463752746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83538 ÷ 217
    83538 ÷ 131072     		y = 0.637344360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463752746582031 × 2 - 1) × π
    -0.0724945068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22774821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637344360351562 × 2 - 1) × π
    -0.274688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.862960066960251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22774821} λ = -0.22774821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.862960066960251))-π/2
    2×atan(0.421911346263529)-π/2
    2×0.399251623949868-π/2
    0.798503247899736-1.57079632675     		φ = -0.77229308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22774821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.049011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77229308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.249134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60785 KachelY 83538 -0.22774821 -0.77229308 -13.049011 -44.249134
    Oben rechts KachelX + 1 60786 KachelY 83538 -0.22770027 -0.77229308 -13.046264 -44.249134
    Unten links KachelX 60785 KachelY + 1 83539 -0.22774821 -0.77232742 -13.049011 -44.251102
    Unten rechts KachelX + 1 60786 KachelY + 1 83539 -0.22770027 -0.77232742 -13.046264 -44.251102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77229308--0.77232742) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dl = 218.780140000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77229308--0.77232742) × R
    3.43400000000216e-05 × 6371000     		dr = 218.780140000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22774821--0.22770027) × cos(-0.77229308) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716312489753077 × 6371000     		do = 218.780272254059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22774821--0.22770027) × cos(-0.77232742) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.716288527578115 × 6371000     		du = 218.772953589039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77229308)-sin(-0.77232742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716312489753077-0.716288527578115)×R²
    abs(-0.22770027--0.22774821)×2.39621749626995e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39621749626995e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39621749626995e-05×40589641000000     		ar = 47863.9780085299m²